Reescrito para facilitar el coste de "puesta en marcha".
Primero, su primera pregunta:
El hecho de que cualquier subgrupo de $G$ que contiene $[G,G]$ es normal en $G$ se deduce por los teoremas de isomorfismo: si $H$ contiene $N\triangleleft G$ entonces $H/N$ es un subgrupo de $G/N$ y $H\triangleleft G$ si y sólo si $(H/N)\triangleleft (G/N)$ . En el presente caso, $N=[G,G]$ y $G/N$ es abeliana, por lo que $H/[G,G]$ es necesariamente normal en $G/[G,G]$ (ya que cada subgrupo de un grupo abeliano es abeliano), por lo que $H$ es normal en $G$ como se ha reclamado.
Tu segunda pregunta es en realidad mucho más interesante (bueno, para mí). La respuesta corta es que el centro y el subgrupo conmutador no son construcciones duales en el sentido categórico pero son construcciones duales en un sentido diferente (que es relacionado con un tipo especial de categoría que aparece mucho en el Álgebra General).
En primer lugar, permítanme dar definiciones "universales" de ambos subgrupos, para que podamos ver cómo los dos están directamente conectados entre sí.
El conmutador y el centro.
Como se observa, el subgrupo conmutador de $G$ es el subgrupo normal más pequeño $N$ de $G$ tal que $G/N$ es abeliana.
Una forma de caracterizar los grupos abelianos es mediante identidades : ecuaciones en el lenguaje de la teoría de grupos que pueden o no ser satisfechas por un grupo. Por ejemplo, la identidad " $xy=yx$ "no es satisfecha por todos los grupos (es decir, dado un grupo $G$ no tiene por qué ser cierto que para todos los $x,y\in G$ tienes $xy=yx$ aunque puede ser cierto para algunos opciones de $x,y\in G$ ). Sin embargo, los grupos que hacer satisfacen esta identidad son precisamente los grupos abelianos.
Cualquier identidad en la teoría de grupos se puede reescribir en la forma $\mathbf{w}=1$ , donde $\mathbf{w}$ es una palabra en el lenguaje de la teoría de grupos (un producto de variables y sus inversas); basta con mover todo al mismo lado. Para los grupos abelianos, tenemos $(xy)(yx)^{-1}=1$ o $xyx^{-1}y^{-1}=1$ . Puede reconocer el lado izquierdo como nada menos que el conmutador $[x,y]$ de $x$ y $y$ . Llámalo $\mathbf{w}(x,y)$ eso es, $\mathbf{w}(x,y) = [x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ .
Por tanto, otra forma de definir el subgrupo conmutador de $G$ es utilizar la palabra $\mathbf{w}(x,y)$ que caracteriza la clase de todos los grupos abelianos (como "los grupos para los que cada evaluación posible de esa palabra es igual a la identidad"): el subgrupo conmutador de $G$ es precisamente el subgrupo generado por todos los valores que $\mathbf{w}(x,y)$ toma como $x$ y $y$ rango sobre los elementos del grupo. Porque definimos el subgrupo como "el subgrupo generado por todos los valores que la palabra $\mathbf{w}(x,y)$ toma", decimos que se trata de un subgrupo verbal .
Aquí hay una conexión interesante entre el centro y el subgrupo conmutador: se puede pensar en la palabra $\mathbf{w}(x,y)$ como dar una función ( no un homomorfismo) $G\times G\to G$ que mapea $(x,y)$ a $\mathbf{w}(x,y)$ . Aunque no es un homomorfismo, podemos preguntarnos: ¿es un factor a través de algo? ¿Existe un subgrupo normal $N$ de $G$ tal que el mapa $G\times G\to G$ factores a través de $(G/N)\times (G/N)$ ?
En otras palabras: ¿cuál es el conjunto de todos los elementos $z$ de $G$ tal que, para todo $x,y\in G$ , $[xz,y] = [zx,y] = [x,zy] = [x,yz] = [x,y]$ ?
Voy a soltar los frijoles: es el centro . Para ver esto, observe que si $z$ tiene esta propiedad, entonces $[z,y] = [1,y] = 1$ para todos $y\in G$ , por lo que necesariamente $z\in Z(G)$ . Por el contrario, si $z\in Z(G)$ entonces $$[xz,y] = xzy(xz)^{-1}y^{-1} = xzyz^{-1}x^{-1}y^{-1} = xzz^{-1}yx^{-1}y^{-1}=xyx^{-1}y^{-1}=[x,y]$$ y de forma similar para $[zx,y]$ , $[x,zy]$ y $[x,yz]$ .
En este contexto, el centro se denomina subgrupo marginal de $G$ en relación con la palabra $\mathbf{w}(x,y)$ . El término fue acuñado por Phillip Hall; la idea es que se trata de elementos que pueden ser "empujados a los márgenes" al calcular los valores de $\mathbf{w}(x,y)$ .
Así que aquí hay un sentido en el que el subgrupo conmutador y el centro son "duales": el conmutador es el subgrupo generado por todos valores de $\mathbf{w}(x,y)$ y el centro es el subgrupo de todos los elementos que no afectan a los valores de $\mathbf{w}(x,y)$ cuando se introducen como factores.
Sin embargo, hay varias formas en que las dos construcciones son no verdaderamente "dual" en un sentido categórico:
- El subgrupo conmutador está asociado al adjunto izquierdo del functor olvidador de $\mathcal{A}b\mathcal{G}roup$ a $\mathcal{G}roup$ . El adjunto izquierdo mapea un grupo $G$ a $G/[G,G]$ es decir, existe una biyección natural entre el homomorfismo de $G$ a un grupo abeliano $A$ y los homomorfismos (de grupo abeliano) entre $G/[G,G]$ y $A$ . El grupo $G/[G,G]$ es universal de izquierda entre todos los grupos abelianos en los que $G$ mapas, etc. Todas las cosas que están relacionadas con el hecho de que tenemos un adjunto izquierdo y que $\mathcal{A}b\mathcal{G}roup$ es una subcategoría reflexiva de $\mathcal{G}roup$ como mencionó Qiaochu.
Sin embargo, el centro no está asociado a un adjunto derecho.
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El subgrupo conmutador es el igualador de todos los mapas de $G$ en grupos abelianos; el centro, sin embargo, no es el coigualador de todo mapa de grupos abelianos en $G$ .
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Mientras que $[G,G]$ es siempre el subgrupo normal más pequeño de $G$ tal que el cociente es abeliano, no es cierto en general que $Z(G)$ es el mayor subgrupo normal de $G$ que es abeliana.
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El conjunto de todos los elementos marginales ya es, directamente, un subgrupo; no necesitamos hablar del "subgrupo generado por todos los elementos marginales de $G$ ". Pero el conjunto de todos los valores de $\mathbf{w}(x,y)$ es no necesariamente un subgrupo, tenemos que hablar del "subgrupo que generan" para obtener el correspondiente subgrupo verbal.
No obstante, la construcción de subgrupos verbales y marginales establece algunos "relación dual" entre ambos. De hecho, esa relación encaja en un cuadro mucho más amplio de subgrupos verbales y marginales (lo que también explica la "dualidad" entre las series centrales superior e inferior de un grupo, que es lo que señalan las notas de Keith Conrad).
Subgrupos verbales y marginales en general
El subgrupo conmutador de $G$ es un ejemplo de subgrupo verbal de $G$ y el centro es el correspondiente marginal subgrupo.
Variedades. La clave de estas nociones es la idea de un variedad de grupos. A variedad de grupos es cualquier colección de grupos que es cerrada bajo subgrupos, imágenes homomórficas y productos directos arbitrarios. Es decir, si $\mathfrak{V}$ es la clase, entonces se requiere que si $H\lt G$ y $G\in\mathfrak{V}$ entonces $H\in\mathfrak{V}$ . Que si $\varphi\colon G\to K$ es un homomorfismo de grupo onto y $G\in\mathfrak{V}$ entonces $K\in\mathfrak{V}$ y que si $\{G_i\}_{i\in I}$ es una familia arbitraria de grupos con $G_i\in\mathfrak{V}$ para todos $i\in I$ entonces $\prod_{i\in I}G_i\in\mathfrak{V}$ . (Obsérvese que como el producto vacío es el grupo trivial, una variedad de grupos es siempre no vacía).
Ejemplos de variedades son: la clase de todos los grupos; la clase de todos los grupos abelianos; la clase de todos los grupos de exponente $n$ para un determinado $n$ la clase de todos los grupos nilpotentes de clase como máximo $c$ (para un determinado $c$ ); la clase de todos los grupos solubles de longitud de solvencia a lo sumo $s$ (para un determinado y fijo $s$ ).
Ejemplos de colecciones que son no Las variedades son: grupos divisibles (los subgrupos de los divisibles no tienen por qué ser divisibles); grupos finitos (los productos arbitrarios de los grupos finitos no tienen por qué ser finitos); grupos solubles (los productos arbitrarios de los grupos solubles no tienen por qué ser solubles); grupos sin torsión (la imagen homomórfica de los grupos sin torsión no tiene por qué ser sin torsión).
Subgrupos verbales. Dada cualquier variedad de grupos $\mathfrak{V}$ y un grupo $G$ existe un subgrupo normal más pequeño de $G$ , llamado $\mathfrak{V}(G)$ con la propiedad de que $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$ . Para ver esto, observe que la familia de todos estos subgrupos normales no es vacía, ya que contiene $G$ y dada cualquier familia $\{N_i\}_{i\in I}$ de subgrupos normales de $G$ tal que $G/N_i\in\mathfrak{V}$ para todos $i\in I$ , entonces el mapeo $G$ a $\prod G/N_i \in\mathfrak{V}$ en la forma obvia muestra que $G/\cap N_i$ es un subgrupo de un grupo en $\mathfrak{V}$ por lo que se encuentra en $\mathfrak{V}$ . Así que la clase de tales subgrupos tiene un elemento más pequeño (la intersección de todos los subgrupos de la clase). Este subgrupo se llama $\mathfrak{V}$ - subgrupo verbal de $G$ .
(En el caso de que $\mathfrak{V}=\mathfrak{A}$ la variedad de todos los grupos abelianos, la $\mathfrak{A}$ -es precisamente el subgrupo conmutador).
La razón por la que se llama "subgrupo verbal" es que a toda variedad le corresponde un conjunto de "identidades" que todo grupo en $\mathfrak{V}$ y tal que todo grupo que satisface las identidades está en $\mathfrak{V}$ Estas identidades pueden ser codificadas como palabras en el grupo libre de rango contable (no son otras que las elementos de $\mathfrak{V}(\mathbf{F}_{\infty})$ , donde $\mathbf{F}_{\infty}$ es el grupo libre de rango contable), y el $\mathfrak{V}$ -corresponde al subgrupo de $G$ dada por todas las posibles evaluaciones de estas palabras en $G$ (equivalentemente, es el subgrupo de $G$ generado por todas las imágenes de $\mathfrak{V}(\mathbf{F}_{\infty})$ bajo todos los posibles homomorfismos $\mathbf{F}_{\infty}\to G$ ). En general, no es necesario todo los elementos de $\mathfrak{V}(\mathbf{F}_{\infty})$ , usted sólo un conjunto de elementos que genera este subgrupo como un subgrupo totalmente invariante de $\mathbf{F}_{\infty}$ (véase más adelante la definición de "subgrupo totalmente invariante").
En el caso de los grupos abelianos, por ejemplo, la identidad que los define es $xy=yx$ (cada grupo en el que cada evaluación posible hace $xy=yx$ verdadero es abeliano, y en un grupo abeliano toda evaluación posible hace $xy=yx$ verdadero), que puede ser "codificado" como la única palabra $xyx^{-1}y^{-1}$ . Esta palabra define completamente la variedad de grupos abelianos en el sentido de que un grupo es abeliano si y sólo si cada evaluación de $xyx^{-1}y^{-1}$ en el grupo es trivial. (Aunque los grupos abelianos satisfacen muchas otras identidades que no son ciertas para los grupos arbitrarios, se puede demostrar que son consecuencias del hecho de que $[x,y]=1$ para todos $x$ y $y$ ). El subgrupo verbal correspondiente a la clase de todos los grupos abelianos es entonces precisamente el subgrupo generado por todas las evaluaciones posibles de esta palabra, a saber, el subgrupo conmutador.
Los subgrupos verbales son muy, muy bonitos: se sitúan en la cima de una jerarquía de subgrupos, que se ordenan en función de lo bien que se comportan con respecto a los homomorfismos:
- En la parte inferior tenemos los subgrupos simples, "de vainilla".
- Entonces tenemos el subgrupo normal: un subgrupo $H$ de $G$ es normal si y sólo si para cada $\varphi\in\mathrm{Inn}(G)$ , $\varphi(H)\subseteq H$ . ( $\mathrm{Inn}(G)$ son los automorfismos internos de $G$ los automorfismos de la forma $x\mapsto g^{-1}xg$ para un número fijo de $g\in G$ ).
- Entonces tenemos los subgrupos característicos: un subgrupo $H$ de $G$ es característica si y sólo si para cada $\varphi\in\mathrm{Aut}(G)$ tenemos $\varphi(H)\subseteq H$ .
- Entonces tenemos los subgrupos totalmente invariantes: un subgrupo $H$ de $G$ es totalmente invariante si y sólo si para cada $\varphi\in\mathrm{End}(G)$ tenemos $\varphi(H)\subseteq H$ .
- Los subgrupos verbales, sin embargo, tienen una propiedad aún más fuerte: para cada homomorfismo de grupo $\varphi\colon G\to K$ entre dos groupos cualesquiera, $\varphi(\mathfrak{V}(G))\subseteq\mathfrak{V}(K)$ . Es decir, la imagen de un subgrupo verbal bajo cualquier homomorfismo está contenido en el correspondiente subgrupo verbal de la imagen. En particular, los subgrupos verbales son totalmente invariantes (por tanto, característicos, por tanto, normales).
(Resulta que un subgrupo de un grupo libre es totalmente invariante si y sólo si es verbal, por lo que cuando buscamos un conjunto de generadores para $\mathfrak{V}(\mathbf{F}_{\infty})$ basta con encontrar uno que lo genere como subgrupo totalmente invariante).
Así que los subgrupos verbales son absolutamente las rodillas de las abejas de los subgrupos (al menos, en relación con los homomorfismos). También están relacionados con la subcategoría $\mathfrak{V}$ de $\mathcal{G}roup$ exactamente de la misma manera que el subgrupo conmutador está relacionado con $\mathcal{A}b\mathcal{G}roup$ : el mapa $G\to G/\mathfrak{V}(G)$ es un functor de $\mathcal{G}roup$ a $\mathfrak{V}$ y es el adjunto izquierdo del functor de olvido de $\mathfrak{V}$ a $\mathcal{G}roup$ .
Subgrupos marginales están relacionados con los subgrupos verbales. Dado cualquier elemento $\mathbf{w}\in\mathbf{F}_{\infty}$ , $\mathbf{w}$ es una palabra con un número finito de letras, digamos $\mathbf{w}=\mathbf{w}(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n)$ . Dado un grupo $G$ se puede observar el subgrupo generado por todos los valores de la palabra $\mathbf{w}$ , $$\mathbf{w}(G) = \Bigl\langle \mathbf{w}(g_1,\ldots,g_n)\Bigm| g_1,\ldots,g_n\in G\Bigr\rangle.$$ Esto es sólo el $\mathbf{w}$ -subgrupo verbal de $G$ Por supuesto. Pero se puede considerar el conjunto de todos los elementos de $G$ que "no importan" en relación con $\mathbf{w}$ Es decir, que.., $$\mathbf{w}^*(G) = \left\langle x\in G\left| \begin{array}{l} \text{for all }g_1,\ldots,g_n\in G,\quad 1\leq i\leq n,\\ \mathbf{w}(g_1,\ldots,g_{i-1},xg_i,g_{i+1},\ldots,g_n) =\mathbf{w}(g_1,\ldots,g_n)\\\ \mathbf{w}(g_1,\ldots,g_{i-1},g_ix,g_{i+1},\ldots,g_n) = \mathbf{w}(g_1,\ldots,g_n).\end{array}\right.\right\rangle.$$ Es fácil comprobar que $\mathbf{w}^*(G)$ es un subgrupo de $G$ , llamado "subgrupo marginal de $G$ en relación con $\mathbf{w}$ ." De hecho, siempre es característico.
(En el caso de $\mathbf{w}(x,y) = [x,y]$ , que da el subgrupo conmutador como subgrupo verbal, tiene subgrupo marginal igual al centro, como vimos anteriormente).
Dada una variedad $\mathfrak{V}$ podemos considerar el subgrupo marginal relativo a $\mathfrak{V}$ , $\mathfrak{V}^*(G)$ tomando la intersección de todos los $\mathbf{w}^*(G)$ para $\mathbf{w}\in\mathfrak{V}(\mathbf{F}_{\infty})$ .
Los subgrupos marginales no son tan agradables como los subgrupos verbales: siempre son característicos, pero rara vez son totalmente invariantes, y no tienen buenas propiedades funcionales como los subgrupos verbales. Pero, por supuesto, están estrechamente relacionados con los subgrupos verbales.
Otros ejemplos de subgrupos marginales: si se considera la palabra $\mathbf{w}_c(x_1,\ldots,x_{c}) = [x_1,x_2,\ldots,x_c]$ (donde $[a,b,c]=[[a,b],c]$ ), entonces el subgrupo verbal $\mathbf{w}_c(G)$ es precisamente el $c$ término de la serie central inferior de $G$ el subgrupo marginal correspondiente $\mathbf{w}_c^*(G)$ es el $c-1$ centro de $G$ , $Z_{c-1}(G)$ El $c-1$ a del término de la superior serie central de $G$ y así, un grupo $G$ es nilpotente de clase como máximo $c$ si y sólo si $\mathbf{w}_{c+1}(G) = \{1\}$ si y sólo si $\mathbf{w}_{c+1}^*(G) = G$ es decir, si y sólo si $G_{c+1}=\{1\}$ si y sólo si $Z_c(G) = G$ . La palabra $\mathbf{w}_{c+1}$ define a la variedad de grupos nilpotentes de clase como máximo $c$ . El hecho de que la serie central superior se produzca precisamente como los subgrupos marginales de la serie central inferior (que se define como una serie de subgrupos verbales) está detrás de muchas de las bonitas "dualidades" entre ambas.
Como otro ejemplo, si se toma $\mathbf{w}(x) = x^n$ esta palabra corresponde a la variedad Burnside $\mathfrak{B}_n$ de todos los grupos de exponente $n$ (grupos en los que cada elemento es de exponente $n$ algunos los llaman "grupos de exponente dividiendo $n$ "), llamado así debido a los problemas de Burnside y Burnside restringido; el problema de Burnside para el exponente $n$ es verdadera si y sólo si $\mathbf{F}_k/\mathfrak{B}_n(\mathbf{F}_k)$ es finito para cada $k$ , donde $\mathbf{F}_k$ es el grupo libre de rango $k$ . El subgrupo marginal correspondiente a $\mathbf{w}$ contiene el conjunto de todos los elementos centrales del exponente $n$ y esos son los únicos elementos centrales en ella; es decir, $\mathbf{w}^*(G)\cap Z(G) = \{x\in Z(G)\mid x^n = 1\}$ . Pero en general podría ser mayor; por ejemplo, en un grupo de exponente $n$ , $\mathbf{w}^*(G)=G$ aunque $G$ no es abeliana.
Un poco de dualidad
Así que hay es dualidad entre los subgrupos verbales y los correspondientes subgrupos marginales, y se explota al tratar cosas como el multiplicador de Schur, los invariantes de Baer y el isologismo, entre otros temas. También se ve en juego cuando se examinan los grupos nilpotentes, y se consideran las series centrales superior e inferior de $G$ que desempeñan una especie de "doble papel" (uno subiendo y otro bajando; si $G$ es nilpotente de clase exactamente $c$ entonces $Z_{i+1}(G)\subseteq G_{c-i}$ , donde $G_{c-i}$ es el $(c-i)$ término de la serie central inferior de $G$ etc.)
Para otro ejemplo de dualidad entre los subgrupos verbales y marginales, considere lo siguiente; dada una variedad $\mathfrak{V}$ , los siguientes son equivalentes:
- $G\in\mathfrak{V}$ .
- $\mathfrak{V}(G) = \{1\}$ .
- $\mathfrak{V}^*(G) = G$ .
Las dos primeras equivalencias provienen simplemente de la definición de $\mathfrak{V}(G)$ como el subgrupo normal más pequeño de $G$ para lo cual $G/\mathfrak{V}(G)\in\mathfrak{V}$ . Para ver la equivalencia final, observe que si $\mathbf{w}(x_1,\ldots,x_n)$ es una identidad de $\mathfrak{V}$ (una identidad que todo grupo en $\mathfrak{V}$ debe satisfacer), entonces para todo $g_1,\ldots,g_n\in\mathfrak{V}^*(G)$ tenemos $$\mathbf{w}(g_1,\ldots,g_n) = \mathbf{w}(1g_1,\ldots,1g_n) = \mathbf{w}(1,\ldots,1) = 1.$$ Por lo tanto, si $\mathfrak{V}^*(G)=G$ entonces $\mathfrak{V}(G)=\{1\}$ . Por el contrario, si $\mathfrak{V}(G)=1$ , entonces para todas las palabras $\mathbf{w}$ correspondiente a $\mathfrak{V}$ , todos $x_1,\ldots,x_n\in G$ , todos $i$ , $1\leq i\leq n$ y todos $g\in G$ tenemos \begin{align*} 1 &= \mathbf{w}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots,x_n) = \mathbf{w}(x_1,\ldots,x_{i-1},gx_{i},x_{i+1},\ldots,x_n)\\\ &= \mathbf{w}(x_1,\ldots,x_{i-1},x_ig,x_{i+1},\ldots,x_n), \end{align*} así que $g\in\mathfrak{V}^*(G)$ para todos $g\in G$ .
Referencias
Un buen lugar para aprender sobre las variedades de grupos es el libro clásico de Hanna Neumann, Variedades de grupos Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 37, Springer-Verlag, 1967. Por supuesto, está un poco anticuado (muchos de los problemas planteados se resolvieron en los años 70, y hay un trabajo de Kleiman de finales de los 70 y principios de los 80 que muestra esencialmente que las cosas pueden ponerse bastante feas cuando se trata de variedades arbitrarias; me entristece decir que el punto de vista varietal ha quedado en el olvido en la teoría de grupos actual).
Los subgrupos marginales fueron introducidos en una nota muy breve por Phillip Hall: Subgrupos verbales y marginales Phillip Hall, J. Reine Angew. Math. 182 (1940), pp. 156-157, MR 2, 125i.
Si quieres ver que los subgrupos verbales y marginales juegan un papel importante y su interacción con la homología, está el tour de force de C.R. Leedham-Green y S. McKay, Invariantes de Baer, isologismos, leyes varietales y homología Acta Math. 136 (1976) no. 1-2, pp. 99-150, MR 0435250 (55 #8210). Este es muy Sin embargo, es difícil, por lo que, ya que estás empezando, es posible que quieras dejarlo de lado durante un tiempo antes de intentar profundizar.
Desde un punto de vista un poco más general, las variedades de grupos (y los subgrupos marginales) son la intersección de la Teoría de Grupos y el Álgebra General (también llamada "Álgebra Universal"); la idea de las "identidades" que dan subcategorías importantes de la colección de todos sus objetos es central en el Álgebra General, y muchas de las propiedades universales y funcionales de los subgrupos verbales son verdaderas en entornos mucho más generales.
Puede obtener una buena introducción a la punto de vista de variedades de grupos (si no a las propiedades específicas que tienen por ser variedades de grupos ) con el frecuentemente recomendado (por mí, al menos) Libro de Álgebra General de George Bergman . Los archivos están en postscript, pero se pueden convertir a PDF con programas/sitios web de libre acceso como ps2pdf.