Juego de reescritura de cinco dígitos

Question

En el hábito de factorizar números, un cuaderno que compré tenía un número de partida de cinco dígitos $77076$ que factores como $2^2 3^2 2141$ que también puede ser $9 \cdot 8564$ y en esta forma el número de dígitos vuelve a ser cinco. (Los dígitos repetidos cuentan por separado). [Nota: Agradezco a Calvin Lin que me haya indicado que tenía un producto incorrecto para $77076$ .]

Así que me pregunté con qué frecuencia puede funcionar esto para números de cinco dígitos, y empecé en $10001=73 \cdot 167$ , $10002=2 \cdot 3 \cdot 1667=6\cdot 1667,$ y así sucesivamente. Las reglas a las que decidí atenerme fueron únicamente que el número de cinco dígitos tiene que reescribirse como un producto de dos o más factores, donde el número total (con repeticiones) de dígitos que aparecen en los factores es de nuevo cinco.

Por supuesto, uno se encuentra con problemas si el número de cinco dígitos es a su vez un primo, por ejemplo en $10007$ y $10009$ . Es posible que haya otras restricciones generales, declarables en términos de la forma de la factorización primaria del número de cinco dígitos dado; si es así, me interesaría saberlo.

A veces hay que hacer malabares con la factorización inicial en primos. Por ejemplo $10010=2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ que, tal como está, supera en dos dígitos el objetivo de cinco. Podemos reducir el número de dígitos $1$ si podemos, por ejemplo, multiplicar un dígito por un primo de dos dígitos en la factorización, y obtener sólo un resultado de dos dígitos. Para este caso podemos utilizar $2 \cdot 11=22,\ 5 \cdot 7=35,$ para conseguir $$10010=7 \cdot 22 \cdot 65,$$ por lo que se cumple el requisito de los cinco dígitos. En este mismo ejemplo podríamos utilizar $2 \cdot 13=26,\ 5 \cdot 11=55$ y conseguir otra reescritura: $$10010=7 \cdot 26 \cdot 55.$$

Sé que esto no es una matemática seria, de ahí la etiqueta recreativa; tal vez alguien pueda encontrar divertido ver estas reescrituras.

Sólo para hacer algunas preguntas específicas: ¿Existe una buena caracterización, digamos en términos del número de dígitos de los primos que aparecen en la factorización de $n$ que diría qué compuesto $n$ con cinco dígitos hizo no ¿tiene cinco dígitos de reescritura como en el caso anterior? ¿Qué ocurre si aumentamos el número de dígitos hasta, por ejemplo, 6 ó 7?

Answer 1

Es una idea interesante. Algunas cosas que me vienen inmediatamente a la mente:

Para números de cinco cifras $n$ , $10000 \leq n \leq 99999$ . Observe el número de dígitos necesarios para representar un número entero positivo $n$ en base 10 es igual a $\lfloor {\log_{10}{n}}\rfloor+1$ que en este caso quieres que sea 5, así que $\lfloor {\log_{10}{n}}\rfloor=4$ . Recuerde también que $\log{abc}=\log{a}+\log{b}+\log{c}$ .

¿Qué pasa si $n$ puede ser factorizado en, digamos $abc$ ? (por poner un ejemplo concreto). Entonces la factorización requiere $\lfloor {\log_{10}{a}}\rfloor+1+\lfloor {\log_{10}{b}}\rfloor+1+\lfloor {\log_{10}{c}}\rfloor+1=\lfloor {\log_{10}{a}}\rfloor+\lfloor {\log_{10}{b}}\rfloor+\lfloor {\log_{10}{c}}\rfloor+3$ dígitos a representar, y quieres que este número también sea 5. Así que quieres $\lfloor {\log_{10}{a}}\rfloor+\lfloor {\log_{10}{b}}\rfloor+\lfloor {\log_{10}{c}}\rfloor$ =2 lo que significa que o bien uno de a, b, c está entre 100 y 999 y los otros están entre 2 y 9 o bien dos están entre 10 y 99 y el otro está entre 2 y 9.

¿Se puede extender esto a más/menos de tres factores? ¿Y si $n$ tiene 6, 7 dígitos?

Answer 2

Desde $(10^k-1)^2=10^{2k}-2\cdot10^k+1\lt10^{2k}$ (por ejemplo $9\cdot9\lt100$ ), el número de dígitos de una factorización no puede disminuir por una nueva subdivisión de los factores. Por lo tanto, un número $n$ con $k$ tiene una factorización no trivial con $k$ dígitos si y sólo si tiene tal factorización con dos factores. Para una factorización de $n$ con dos factores para tener $k$ dígitos, es necesario y suficiente que uno de los factores tenga un mantisa que $n$ .

Así, $n$ tiene una factorización con $k$ dígitos si y sólo si tiene un divisor con una mantisa mayor que la suya. Eso explica por qué no se han encontrado contraejemplos que no sean primos cuando se ha empezado con las mantisas más bajas. En el otro extremo del espectro, no hay factorizaciones con $5$ dígitos de cualquier $5$ -número de dígitos mayor que $99\cdot999=98901$ .

Answer 3

Cuadrado de los números primos con 3 dígitos , por ejemplo 10201 = 101 * 101 no puede escribirse como un producto de dos o más factores, donde el número total (con repeticiones) de dígitos que aparecen en los factores es cinco.