¿Es imposible resolver este par de ecuaciones para x? $y_1 = x_2 - v^{\pm 1}e^{-x_1}$ o, por el contrario $(x - y)c^{\exp(-x)} = z$

Question

Original:

Estoy tratando de resolver lo siguiente para $x_1$ y $x_2$ ,

$$ y_1 = x_2 - v\, e^{-x_1} $$ $$ y_2 = x_1 - \frac{1}{v}\, e^{-x_2} $$

en términos de $y_1$ , $y_2$ y $v$ que son conocidos y reales, y donde $v$ es positivo. Esto debería estar determinado y la forma me parece familiar, pero no encuentro una inversa. ¿Alguien sabe cómo resolverlo? ¿Existe siquiera una solución?

Nota 1:

Estas se han simplificado a partir de las relaciones originales,

$$ \ln{\gamma_1^} = 1 - \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \exp{-\frac{\tau_{2,1}}{T}} \right) - \frac{V_1}{V_2} \exp{-\frac{\tau_{1,2}}{T}} $$

$$ \ln{\gamma_2^} = 1 - \ln\left( \frac{V_1}{V_2} \exp{-\frac{\tau_{1,2}}{T}} \right) - \frac{V_2}{V_1} \exp{-\frac{\tau_{2,1}}{T}} $$

donde $\gamma_1^$ , $\gamma_2^$ , $V_1$ , $V_2$ y $T$ son positivos y $\tau_{1,2}$ y $\tau_{1,2}$ son reales. Arriba, $$v = \frac{V_1}{V_2},\, a=\frac{\tau_{1,2}}{T},\, b=\frac{\tau_{2,1}}{T},\, y_i = \ln{\gamma_i^} - (1 + \ln \frac{V_i}{V_{3-i}}) $$

Nota 2:

Sustituyendo y reduciendo se obtiene el problema equivalente:

$$ (x - y)c^{\exp(-x)} = z $$

(donde $x = x_1, y=y_2, c=\exp(v), z=e^{-y_1}/v$ ).

¿Se puede resolver esta ecuación para x?

Answer 1

Esto se parece mucho a las expresiones de los coeficientes de actividad binaria a dilución infinita de los modelos de Wilson o T-K-Wilson.

Hace tiempo que me encuentro con el mismo problema que tú y, desgraciadamente, no he encontrado ninguna forma de solucionarlo (salvo, como has hecho tú, eliminando uno de los $x$ y quedarse con una sola ecuación en términos de la variable restante). A decir verdad, esperaba obtener soluciones en términos de la función de Lambert generalizada. Probablemente por eso se generaron nomogramas para esta clase de modelos.

Entonces, me rendí y me limité a utilizar métodos numéricos.

Pero también debe saber que puede haber múltiples soluciones al problema.