Este problema fue inspirado por esta pregunta.
$\sqrt [ 3 ]{ a(\frac { a+b }{ 2 } )(\frac { a+b+c }{ 3 } ) } \ge \frac { a+\sqrt { ab } +\sqrt [ 3 ]{ abc } }{ 3 } $
Lo anterior puede ser demostrado mediante Hölder la desigualdad.
$\sqrt [ 3 ]{ a(\frac { a+b }{ 2 } )(\frac { a+b+c }{ 3 } ) } =\sqrt [ 3 ]{ (\frac { a }{ 3 } +\frac { a }{ 3 } +\frac { a }{ 3 } )(\frac { a }{ 3 } +\frac { a+b }{ 6 } +\frac { b }{ 3 } )(\frac { a+b+c }{ 3 } ) } \ge \sqrt [ 3 ]{ (\frac { a }{ 3 } +\frac { a }{ 3 } +\frac { a }{ 3 } )(\frac { a }{ 3 } +\frac { \sqrt { ab } }{ 3 } +\frac { b }{ 3 } )(\frac { a }{ 3 } +\frac { b }{ 3 } +\frac { c }{ 3 } ) } (\because AM-GM)\\ \ge \frac { a+\sqrt { ab } +\sqrt [ 3 ]{ abc } }{ 3 } (\because Holder's\quad inequality)$
Sin embargo, tuve problemas en la generalización de esta desigualdad
$\sqrt [ n ]{ \prod _{ i=1 }^{ n }{ { A }_{ i } } } \ge \frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ { G }_{ i } } }{ n } $
al ${ A }_{ i }=\frac { \sum _{ j=1 }^{ i }{ { a }_{ i } } }{ i } $
y ${ G }_{ i }=\sqrt [ i ]{ \prod _{ j=1 }^{ i }{ { a }_{ i } } } $ como no podía dividir las fracciones como lo hice anteriormente.
