Siento esta simple pregunta y sólo la hago porque no encuentro información al respecto, en ningún sitio (quizás estoy buscando las palabras equivocadas).
Pero, ¿es así?
$(x_1+x_2...+x_n)^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2+2x_1x_2+...+2x_{n-1}x_n$
¿es cierto?
Gracias por cualquier ayuda.
Sí, así es.
He aquí una prueba por inducción:
Dejemos que el caso base sea $n=2$ Tendríamos $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2$ que es igual a lo que tienes en tu pregunta. Ahora, supongamos que esto es cierto para $n$ y nos gustaría probarlo para $n+1$ . $(x_1+x_2+...+x_{n+1})^2 - (x_1+x_2+...+x_n)^2 = (x_1+x_2+...+x_{n+1} - x_1-x_2-...-x_n)(x_1+x_2+...+x_{n+1}+x_1+x_2+...+x_n = x_{n+1}(2(x_1 + x_2+...+x_n)+x_{n+1}) = 2x_1x_{n+1}+2x_2x_{n+1} + ... + 2x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2$ . Para obtener el resultado que buscabas, tendríamos que añadir $(x_1+x_2+...+x_n)^2 = x_1^2+x_2^2+...+2x_1x_2+...+2x_{n-1}x_n$ a $(x_1+x_2+...+x_{n+1})^2 - (x_1+x_2+...+x_n)^2 = 2x_1x_{n+1}+2x_2x_{n+1} + ... + 2x_nx_{n+1}+x_{n+1}^2 $ que daría el resultado que buscas.
Sí, puede utilizar el Teorema del multinomio . O puedes demostrarlo directamente por inducción.
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