Transformaciones de Möbius líneas y círculos

Question

Estoy buscando un esquema básico de una prueba

Sé que todas las MT son de la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$ Para $c=0$ Sé que las líneas/circunferencias se conservan porque las traslaciones y dilataciones no hacen que una línea/circunferencia deje de serlo

Pero no estoy seguro de cómo probar esto para todos los casos

En realidad mi examen es mañana, así que sería genial si alguien pudiera ayudarme hoy :)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \dfrac{a\color{#C00000}{z}+b}{c\color{#C00000}{z}+d}=\frac ac+\frac1c\frac{bc-ad}{c\color{#C00000}{z}+d}\tag{1} $$ es una composición de traslación, dilatación e inversión $\left(z\mapsto\frac1z\right)$ . Geométricamente, es fácil ver que la traslación y la dilatación preservan los círculos y las líneas.

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La inversión conserva los círculos que no pasan por el origen

Si $|z-c|=r$ donde $|c|\ne r$ entonces $\color{#C00000}{r^2}=(z-c)(\bar{z}-\bar{c})=\color{#C00000}{|z|^2+|c|^2-2\mathrm{Re}(z\bar{c})}$ y $$ \begin{align} &\left[\frac1z-\frac1c\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)\right] \left[\frac1{\bar{z}}-\frac1{\bar{c}}\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)\right]\\ &=\frac1{|z|^2}+\frac1{|c|^2}\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)^2-2\mathrm{Re}\left(\frac1{z\bar{c}}\right)\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)\\ &=\frac1{|z|^2}+\frac1{|c|^2}\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)^2-\frac{\color{#C00000}{2\mathrm{Re}(z\bar{c})}}{|z|^2|c|^2}\left(\frac{|c|^2}{|c|^2-r^2}\right)\\ &=\frac1{|z|^2}+|c|^2\left(\frac1{|c|^2-r^2}\right)^2-\frac{\color{#C00000}{|z|^2+|c|^2-r^2}}{|z|^2}\left(\frac1{|c|^2-r^2}\right)\\ &=\left(\frac{r}{|c|^2-r^2}\right)^2\tag{2} \end{align} $$ Por lo tanto, $\frac1z$ se encuentra en el círculo con $$ \text{center}=\frac{\bar{c}}{|c|^2-r^2}\qquad\text{and}\qquad\text{radius}=\frac{r}{|c|^2-r^2}\tag{3} $$

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Limitación a los círculos que pasan por el origen

Si arreglamos $c$ y que $r\to|c|$ el radio tiende a $\infty$ mientras que contiene el siguiente punto: $$ \begin{align} \frac{\bar{c}}{|c|^2-r^2}-\frac{\bar{c}}{|c|}\frac{r}{|c|^2-r^2} &=\frac{\bar{c}}{|c|}\frac{|c|-r}{|c|^2-r^2}\\ &=\frac{\bar{c}}{|c|}\frac1{|c|+r}\\ &\to\frac1{2c}\tag{4} \end{align} $$ Así, el círculo tiende a una línea que pasa por $\dfrac1{2c}$ y perpendicular a $\bar{c}$ .

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Líneas

Dado que la inversa de $z\mapsto\frac1z$ es ella misma, podemos invertir la sección anterior para obtener que una línea mapea a un círculo que pasa por el origen cuyo centro es $\dfrac1{2p}$ , donde $p$ es el punto de la recta más cercano al origen.

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Círculos cuyo centro es el origen y líneas que pasan por el origen

En las secciones anteriores, hemos ignorado los problemas que se producen cuando $c=0$ y $p=0$ . Estos casos son triviales geométricamente.

Answer 2

Para empezar, si $c\neq0,$ entonces pon $f_1(z)=z+d/c,$ $f_2(z)=1/z,$ $f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}z,$ y $f_4(z)=z+a/c.$ Entonces $$(f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1)(z)=\frac{az+b}{cz+d}.$$ Por lo tanto, basta con demostrar que cada uno de $f_1,f_2,f_3,f_4$ mapea círculos generalizados a círculos generalizados. El hecho de que $ad-bc\ne0$ será esencial aquí. La única parte algo complicada es demostrar que esto es cierto para $f_2.$ La idea es mostrar que las líneas son mapeadas a círculos generalizados a través del origen y viceversa, mientras que los círculos que no pasan por el origen son nuevamente mapeados a círculos que no pasan por el origen.

El $c=0$ caso es sencillo.