Ejemplos de límites que se facilitan con las series de Taylor

Question

Hay ejemplos de preguntas en este sitio donde el OP pide ayuda para resolver un problema de límite, y algunas de las respuestas hacen uso de ingeniosas expansiones de Taylor para evaluar el límite. El propósito de esta pregunta es recoger ejemplos de problemas de límites que se hacen más fáciles cuando se aplica una expansión de Taylor al argumento del límite. Por ejemplo, esta pregunta propone el siguiente límite $$ \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x^5}\int_0^xe^{-t^2}\,dt-\frac{1}{x^4}+\frac{1}{3x^2}\right) $$ que se resuelve fácilmente ampliando $e^{-t^2} = 1 - t^2 + t^4/2 + O(t^6)$ .

Me interesan otros ejemplos como éste en los que una expansión en serie simplifica/posibilita el cálculo del límite. Si el ejemplo también utiliza la regla de L'Hôpital, está bien. Estoy estrictamente interesado en ejemplos de expansión de una función en una serie de Taylor para resolver el límite.

Otros ejemplos aquí , aquí y aquí .

Answer 1

Algunos buenos ejemplos :

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x+\frac{x^3}{6}}{x^5}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot \sqrt{x+1}-\ln({x+1})}{x^2}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln{(x^2+1)}-\sin(x)\cdot \arctan(x)}{x^6}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\exp(x)\cdot \cos(x)-\arctan(x)-1}{x^4}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin{(\frac{x}{\exp(x)})}-\frac{x}{x+1}}{x^3}$$

$$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\ln{(x)}}{(x-1)^3}$$

Answer 2

A continuación se presentan algunos límites que personalmente considero especialmente adecuados para la técnica de las expansiones en serie de Taylor. Nótese que he tratado de resolver la mayoría de ellos utilizando la Regla de L'Hospital para mostrar la diferencia entre el uso de las series de Taylor y la Regla de L'Hospital.

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x\sin(\sin x) - \sin^{2}x}{x^{6}}$ Enlace .
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin(\tan x) - \tan(\sin x)}{x^{7}}$ Enlace .
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x\tan x - x^{3}}{x^{7}}$ Enlace .
4. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - 1}{x^{4}}$ donde $\displaystyle f(x) = \dfrac{{\displaystyle 3\int_{0}^{x}(1 + \sec t)\log\sec t\,dt}}{(\log\sec x)\{x + \log(\sec x + \tan x)\}}$ Enlace .
5. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{(\cos x)^{\sin x} - \sqrt{1 - x^{3}}}{x^{6}}$ Enlace .
6. $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2\sin x \log \cos x + x^{3}}{x^{7}}$ Enlace .