Autovalores de algunos peculiar matrices

Question

Mientras yo estaba jugando un poco con las matrices, me atreví a entrar a una familia de tridiagonal matrices $M_n$ que toman la siguiente forma: el superdiagonal todas las entradas son a $1$'s, la diagonal entradas tomar la forma $m_{j,j}=4 j (2 n + 3) - 8 j^2 - 6 n - 5$, y la subdiagonal entradas tomar la forma $m_{j+1,j}=4 j (2 j - 1) (2 n - 2 j + 1) (n - j)$.

Por ejemplo, el $4\times 4$ de los miembros de esta familia se parece a esto:

$$M_4=\begin{pmatrix} 7 & 1 & 0 & 0 \\ 84 & 27 & 1 & 0 \\ 0 & 240 & 31 & 1 \\ 0 & 0 & 180 & 19\end{pmatrix}$$

He comprobado que los valores propios de los miembros de esta familia y me encontré con que cada miembro tiene los cuadrados de los primeros números enteros impares como valores propios. (Por ejemplo, los autovalores de a$M_4$$1,9,25,49$.) No podía encontrar una manera de probar esto, sin embargo.

Quisiera que alguien me ayudara! Gracias!

Answer 1

Creo que tengo algo. Mi solución es un poco complicada, y que me gustaría ver una ruta más corta para hacer esto.

Desde matrices simétricas son "más fácil" de manejar, se aplica una symmetrizing diagonal similitud de transformación de $\mathbf D^{-1}\mathbf M\mathbf D$ a la matriz $\mathbf M$ donde $\mathbf D$ tiene los elementos de la diagonal

$$d_{k,k}=\left(\prod_{j=1}^{k-1} \left(4j(2j-1)(2n-2j+1)(n-j)\right)\right)^\frac12$$

(Esta transformación de un unsymmetric matriz tridiagonal simétrica, uno es debido a Jim Wilkinson.) La nueva matriz, se $\mathbf W$, ha diagonal entradas que son idénticos a los de $\mathbf M$, mientras que la sub - y superdiagonal entradas son las raíces cuadradas de la subdiagonal entradas de $\mathbf M$. Por ejemplo, aquí es $\mathbf W_4$:

$$\begin{pmatrix} 7 & 2 \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 2 \sqrt{21} & 27 & 4 \sqrt{15} & 0 \\ 0 & 4 \sqrt{15} & 31 & 6 \sqrt{5} \\ 0 & 0 & 6 \sqrt{5} & 19 \end{pmatrix}$$

Me he encontrado con que $\mathbf W$ es simétrica positiva definida; que por lo tanto debe tener una descomposición de Cholesky $\mathbf W=\mathbf C^\top\mathbf C$, donde el Cholesky triángulo $\mathbf C$ es superior bidiagonal de la matriz. Por suerte, las entradas de $\mathbf C$ a (algo) simple(r) de la forma:

$$\begin{align*}c_{k,k}&=\sqrt{(2k-1)(2n-2k+1)}\\c_{k,k+1}&=2\sqrt{k(n-k)}\end{align*}$$

Aquí es $\mathbf C_4$ por ejemplo:

$$\begin{pmatrix} \sqrt{7} & 2 \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{15} & 4 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{15} & 2 \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{7} \end{pmatrix}$$

¿Por qué buscar en la descomposición de Cholesky, cuando los valores propios que nos interesa? A veces es conveniente calcular los autovalores de una simétrica positiva definida la matriz teniendo en cuenta los valores propios de su Cholesky triángulo. Más precisamente, si $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ son los valores singulares de a $\mathbf C$, entonces los autovalores de a$\mathbf W$$\sigma_1^2,\dots,\sigma_n^2$.

Aquí es donde se hace clic para mí. En una corazonada, me decidí a considerar la Golub-Kahan tridiagonals correspondiente a $\mathbf C$.

Es parte de la teoría de la descomposición de valor singular de que si $\mathbf C$ tiene valores singulares de a$\sigma_1,\dots,\sigma_n$, $2n\times 2n$ bloque de la matriz

$$\mathbf K=\left(\begin{array}{c|c}\mathbf 0&\mathbf C^\top \\\hline \mathbf C&\mathbf 0\end{array}\right)$$

tiene los autovalores $\pm\sigma_1,\dots,\pm\sigma_n$. También se sabe que existe una matriz de permutación $\mathbf P$, de tal manera que esta matriz da cuenta de una transformación de similitud entre el $\mathbf K$ y un especial de la matriz tridiagonal $\mathbf T$:

$$\mathbf T=\mathbf P\mathbf K\mathbf P^\top$$

y $\mathbf T$ ($n=4$):

$$\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{7} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{7} & 0 & 2 \sqrt{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \sqrt{3} & 0 & \sqrt{15} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{15} & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & \sqrt{15} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{15} & 0 & 2 \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \sqrt{3} & 0 & \sqrt{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{7} & 0 \end{pmatrix}$$

Nota: la estructura de $\mathbf T$: las entradas de la diagonal son cero, y las entradas fuera de la diagonal son la diagonal y superdiagonal entradas de $\mathbf C$ "revolvió" juntos. $\mathbf T$ es lo que se conoce como un Golub-Kahan matriz tridiagonal.

Resulta que, además de la diagonal de la similitud de transformación de $\mathbf T^\prime=\mathbf F\mathbf T\mathbf F^{-1}$, con las entradas de la diagonal $f_{k,k}=\sqrt{\binom{2n-1}{k-1}}$ vueltas $\mathbf T$ a un lugar famoso conjunto de matrices. Aquí está la $2n\times 2n$ matriz$\mathbf T^\prime$$n=4$:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$\mathbf T^\prime$ es lo que se conoce como el Clemente-Kac(-Sylvester) de la matriz. Es bien conocido (ver aquí o aquí, por ejemplo) que el $2n\times 2n$ Clemente-Kac(-Sylvester) de la matriz tiene los autovalores $\pm1,\dots,\pm(2n-1)$ (y por lo tanto estos son los autovalores de a$\mathbf T$$\mathbf K$). A partir de esto, encontramos que los valores singulares de a $\mathbf C$ $1,\dots,2n-1$ (los primeros números impares), y por lo tanto los autovalores de a $\mathbf W=\mathbf C^\top\mathbf C$ y el original de la matriz$\mathbf M$$1,9,\dots,(2n-1)^2$.

¡Uf!

Answer 2

Si no me equivoco, el mayor vector propio es de la forma

$\begin{pmatrix} 1 \\ (2n-1)!/(2n-3)! \\ (2n-1)!/(2n-5)! \\ \vdots \\ (2n-1)!/1! \end{pmatrix}$.

Esto no debería ser demasiado difícil de probar, y creo que la más pequeña autovector tiene una forma similar de forma compacto. Mi sospecha es que no es una simple rotación o un par de rotaciones que usted puede hacer para ver los autovalores de forma explícita. Me gustaría ver algo de la forma $ULDL^{-1}U^{-1}$ o $LUDU^{-1}L^{-1}$ donde $L$ no es cero excepto en la diagonal y la subdiagonal, y $U$ es cero excepto en la diagonal y superdiagonal.