¿Aplicando la MVT y la IVT (?) para demostrar algo sobre f'''? (edición: en realidad, el Teorema de Taylor utilizando el resto de Lagrange)

Question

Creo que la respuesta correcta a esta pregunta implicará la aplicación tanto del Teorema del Valor Medio como del Teorema del Valor Intermedio, quizás varias veces. Sin embargo, no veo cómo proceder. He recorrido lo que creía que eran los caminos típicos y sólo he llegado a callejones sin salida.

¿Alguien tiene una pista? Creo que con el empujón adecuado debería ser capaz de resolver esta cuestión. Si no es así, editaré y preguntaré si alguien sabe cómo resolver todo el asunto.

Esta es la pregunta:

Dejemos que $f: \mathbf R \to \mathbf R$ sea tal que $f$ , $f'$ , $f''$ y $f'''$ existen y son continuas en $\mathbf R$ y satisfactorio $f(-3)=-1$ , $f(0)=0=f'(0)$ y $f(3)=8$ . Demostrar que existe $\xi \in (-3, 3)$ tal que $f'''(\xi) \ge 1$ .

Answer 1

Tenemos por el teorema de Taylor $$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^{2}}{2}f''(0) + \frac{x^{3}}{6}f'''(\xi)\tag{1}$$ para algunos $\xi$ entre $0$ y $x$ . Y así $$f(3) = \frac{9f''(0)}{2} + \frac{9}{2}f'''(\xi_{1})\tag{2}$$ para algunos $\xi_{1} \in (0, 3)$ y $$f(-3) = \frac{9f''(0)}{2} - \frac{9}{2}f'''(\xi_{2})\tag{3}$$ para algunos $\xi_{2} \in (-3, 0)$ y al restar estas ecuaciones obtenemos $$9 = \frac{9}{2}\{f'''(\xi_{1}) + f'''(\xi_{2})\}$$ o $$f'''(\xi_{1}) + f'''(\xi_{2}) = 2\tag{4}$$ Ahora es obvio que ambos $f'''(\xi_{1})$ y $f'''(\xi_{2})$ no puede ser inferior a $1$ y nuestro resultado es el siguiente.

Nótese que no necesitamos la continuidad de $f'''$ sino sólo su existencia en el intervalo $(-3, 3)$ . Y como puedes ver tampoco necesitamos el MVT/IVT sino el teorema de Taylor (que por cierto es una consecuencia del MVT).