Demostrar que $P(A ∩ B) ≤ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)$

Question

No sé si mi prueba es correcta. La separé en 2:

$1) P(A B) P(A B)$

Pf: $P(A B) = P(A\setminus B) + P(B\setminus A) + P(A B)$ y sabemos que $0 P(A\setminus B) 1$ y $0 P(B\setminus A) 1$ así que $P(A B) P(A B)$

$2) P(A B) P(A) + P(B)$

Pf: $P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)$ y sabemos que $0 P(A B) 1$ así que $P(A B) P(A) + P(B)$

Por lo tanto, $P(A B) P(A B) P(A) + P(B)$

Answer 1

Se ve bien. En la primera prueba realmente estás aprovechando el hecho de que $ P(A\setminus B)\geq 0 $ y $P(B\setminus A)\geq 0$ . En la segunda prueba se aprovecha el hecho de que $P(A\cap B)\geq 0$ . Realmente no estás haciendo uso del hecho de que las probabilidades son como máximo una, así que yo lo omitiría de la explicación.