Cómo resolver utilizando variables aleatorias

Question

Se colocan dieciocho bolas al azar en siete cajas etiquetadas $B_1 , . . . , B_7$ . Encuentre la probabilidad de que las cajas con etiquetas $B_1 , B_2$ y $B_3$ todos juntos contienen seis bolas.

He resuelto el problema utilizando funciones de generación.

R: en ningún caso se pueden colocar 6 bolas en 3 cajas.

coeficiente de $x^6$ en $(1+x+x^2+\dots)(1+x+x^2+\dots)(1+x+x^2+\dots)$

coeficiente de $x^6$ en $(1-x)^{-3}$ es igual a $\binom{8}{6}$ = 28

B: no de casos se pueden colocar 12 bolas en 4 cajas.

de la misma manera que podemos conseguir $N(B)=\binom{15}{3}=420$

C: no de casos 18 bolas pueden ser colocadas en 7 cajas.

podemos conseguir $\binom{24}{18}$

la respuesta final de la pregunta será $\frac{N(A)N(B)}{N(C)}$

Quiero hacer el mismo problema usando variables aleatorias, pero no estoy entendiendo cómo resolver usando variables aleatorias.

Answer 1

Tenemos que hacer un modelo de probabilidad de la situación. Supongamos que las bolas se colocan de una en una, con todas las casillas con la misma probabilidad, y que las colocaciones son independientes.

Llama a la colocación de una bola en particular un éxito si el balón acaba en $B_1$ , $B_2$ o $B_3$ . La probabilidad de éxito es $\dfrac{3}{7}$ .

Queremos la probabilidad de que exactamente $6$ éxitos en $18$ ensayos. Este es un problema de distribución binomial directa. La probabilidad requerida es $$\binom{18}{6}\left(\frac{3}{7}\right)^6 \left(\frac{4}{7}\right)^{12}.$$

Observación: Obtenemos una respuesta diferente si asumimos en cambio que todos los $7$ -tuplas $(x_1,\dots,x_7)$ tal que $x_1+\cdots+x_7=18$ son igualmente probables. Pero esa suposición, a menos que se especifique explícitamente en el problema, no es razonable.