Subesquema afín abierto de esquema afín que no es principal

Question

No estoy seguro de si esto no es trivial o no, pero ¿existen ejemplos simples de un esquema afín$X$ que tiene un subesquema afín abierto$U$ que no es principal en$X$? Por una apertura principal de$X = \mathrm{Spec} \ A$, me refiero a cualquier cosa de la forma$D(f) = \{\mathfrak p \in \mathrm{Spec} \ A : f \notin \mathfrak p\}$, donde$f$ es un elemento de$A$.

Answer 1

Sea X una curva elíptica con el elemento de identidad O eliminado. Sea U = XP donde P es un punto de orden infinito. Entonces U es afín por un argumento de Riemann-Roch. Ahora suponga que U = D (f). Luego, en toda la curva elíptica, el divisor de f debe apoyarse solo en P y O. Esto implica que P es un punto de torsión, una contradicción.

Answer 2

Para ver un ejemplo simple y realmente concreto, también puede mirar:

$A=k[x,y,u,v]/(xy+ux^2+vy^2)$,$X =Spec(A)$,$I=(x,y)$,$U = D(I)$.

Luego, las funciones$f=\frac{-v}{x}=\frac{y+ux}{y^2}$ y$g=\frac{-u}{y}=\frac{x+vy}{x^2}$ se definen en$U$. ¡Pero$yf+xg=1$, entonces$U$ es afín!

Salud,

Answer 3

No estoy del todo seguro de lo que quiere decir, pero si se refiere a cuyo complemento no es el principal, tome$\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$, que es un subesquema abierto de$\mathbb{A}^2$. Ahora, si quiere decir que el subesquema abierto no es cortado por una sola ecuación, cualquier subesquema abierto que no sea el espacio completo servirá para un esquema irreducible, porque el único conjunto abierto que es cortado por un ideal es el esquema completo .