¿Por qué los functors olvidadizos suelen tener adjunto IZQUIERDO?

Question

para los functores olvidadizos, usualmente podemos encontrar su adjunto izquierdo como algunos "objetos libres", por ejemplo, el functor olvidadizo: AbGp -> Set, su adjunto izquierdo envía un conjunto al "free ab. gp gen. by it". Esto sucede incluso en algunos casos no triviales. Entonces mi pregunta es, ¿por qué ocurren estos? es decir, ¿por qué un funtor olvida alguna estructura (en ciertos casos) implica que tienen un adjunto izquierdo? Gracias.

Answer 1

Muchos functores olvidadizos en un entorno algebraico son representables; por ejemplo, el functor olvidadizo$\text{Ab} \to \text{Set}$ está representado por$(\mathbb{Z}, 1)$. Los functores con adjuntos izquierdos también son representables y, a veces, se cumple lo contrario .