$L_{s} [t f(t) f'(t)] $

Question

¿Existe alguna simplificación por medio de las propiedades estándar de la Transformada de Laplace para esto? $$L_{s} [t f(t) f'(t)]$$

donde $f'(t)$ es $\frac{d}{dt} f(t)$

Alternativamente, ¿existe una simplificación de $L_{s} [f(t) f'(t)]$ para que pueda calcular mi expresión original calculando la derivada $-\frac{d}{ds} L_{s} [f(t) f'(t)]$ ?

Answer 1

$$\int_0^{+\infty} f'(t)f(t) e^{-st} \, \mathrm d t = I(s)$$

Definir:

$$u(t)=f(t)e^{-st}$$ $$u'(t)=f'(t)e^{-st}-s e^{-st} f(t)$$ $$v'(t)=f'(t)$$ $$v(t)=f(t)$$

Integrar por partes: $\int v'u=vu-\int vu'$ :

$$I(s)=f^2(t)e^{-st}\vert_{t=0}^{t \to + \infty} - I(s) + s \int_0^{+\infty} f^2(t)e^{-st} \, \mathrm d t$$

Resolver para $I(s)$ .

Answer 2

Desde entonces: $$\mathcal {L}\{tg(t)\}=-\frac {d}{ds}\mathcal {L}\{g(t)\}$$ Lo tenemos: $$\mathcal {L}[tf(t)f′(t)]=-\frac {d}{ds}\mathcal {L}\{f(t)f′(t)\}$$ $$\mathcal {L}[tf(t)f′(t)]=-\frac 1 2\frac {d}{ds}\mathcal {L}\{(f^2(t))′\}$$ Utiliza el hecho de que : $$ \mathcal{L}{(g'(t))}=sG(s)-g(0) $$ $$ \begin{align} \mathcal {L}[tf(t)f′(t)]&=-\frac 1 2\frac {d}{ds}(s\mathcal {L}\{f^2(t)\}(s)-f^2(0)) \\ \mathcal {L}[tf(t)f′(t)]&=-\frac 1 2\frac {d}{ds}(s\mathcal {L}\{f^2(t)\}(s)) \\ \end{align} $$