Sumas de las series $1 + (x^2) / 3! +( x^4) / 5! +\cdots$

Question

Cómo puedo calcular la suma de las series ; $$1 + \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}+\cdots$$

Traté de dividirlo en dos partes de tal manera que $$f(x) = 1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+\frac{x^3}{4!}+\cdots = \frac{e^x-x}{x}$$ y que $$g(x) = \frac{x}{2!}+\frac{x^3}{4!}+\frac{x^5}{6!}+\frac{x^7}{8!}+\cdots $$

por lo que la respuesta es igual a $f(x)-g(x)$ pero no pude proceder ya que no encuentro ninguna expresión para $g(x)$

Answer 1

Tenga en cuenta que $xf(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})=\sinh x$ .

Answer 2

$$ f(z)= z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\ldots $$ es una función impar con $f'(0)=1$ que satisface la DE $f''(z)=f(z)$ Por lo tanto $f(z)=\sinh z$ y: $$ 1+\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}+\ldots = \frac{\sinh z}{z}=\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right).$$ Obsérvese que al comparar el coeficiente de $z^2$ en el RHS y en el LHS obtenemos: $$\frac{1}{\pi^2}\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{3!},$$ de la cual $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ fácilmente, por ejemplo.