Función generadora de la secuencia

Question

Sólo necesito que me confirmen si estoy enfocando esta cuestión correctamente. $\sum nx^n$ sin embargo. ¿Sería $\frac{6x}{(1-x)^2} ?$

Encuentra la función generadora de: $$ a_n = 6n + 2018 $$

Mi solución: $$ \sum a_nx^n = \sum6nx^n+ \sum2018x^n $$ $$\sum a_nx^n = \sum6nx^n+ \sum2018x^n$$ $$ g_{an}(x) = 6\sum nx^n+ 2018\sum x^n + a_0$$ $$ g_{an}(x) = \frac{6x}{(1-x)^2}+ \frac{2018}{1-x} $$

Se agradecería mucho cualquier orientación.

Answer 1

Es cierto que $\sum nx^n=x/(1-x)^2$ . Así es como se obtiene esto. Partiendo de $1/(1-x) = \sum_n x^n$ , diferenciar ambos lados, obteniendo $$ \frac1{(1-x)^2}=\sum nx^{n-1}, $$ entonces multiplica ambos lados por $x$ .

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Por cierto, no debes restar $a_0$ del lado izquierdo, la ecuación correcta es $$ \sum a_nx^n = \sum 6nx^n + \sum2018 x^n $$ La única vez que se resta $a_0$ es cuando se tiene una ecuación de recurrencia, como $a_{n+1} = 2a_n +1$ .