$n$ bolas de $2^{n}-1$ colores, orden no significativo, ¿cuántas combinaciones?

Question

Un ejemplo:

Con $n = 3$ , Sacamos 3 bolas. Hay 7 colores (o números) diferentes. El orden de las bolas no importa, así que [rojo, verde, azul] se trata como si fuera igual a [verde, rojo, azul]. Los colores pueden repetirse, es decir, [gris, gris, gris] es un sorteo válido.

¿Cómo calculamos el número total de variaciones posibles?

Answer 1

Si se supone que el número de bolas de cada color es mayor que el número de bolas que se saca, entonces se trata de combinaciones con repetición ilimitada. Podemos considerar el problema equivalente de decidir de cuántas maneras podemos distribuir $n$ bolas en $2^{n} -1$ cajas como sigue

$$\underline{\lVert\text{colour 1}\rVert\text{colour 2}\rVert\text{colour 3}\rVert \ldots \lVert\text{colour }2^{n}-1\rVert }$$

Donde "color 1" indica que las bolas de esta caja tienen el color 1, etc.

Si sustituimos la representación de los separadores por 1's y la representación del número de bolas en una caja por una secuencia de ceros (por ejemplo, la secuencia que empieza por 1001101... significa que hay dos bolas de color 1 elegidas, ninguna bola de color dos y una bola de color 3 entonces podemos considerar el problema de contar el número de secuencias posibles de $n$ ceros y $2^{n} - 2$ las. Esto es simplemente

$\displaystyle C(2^{n} + n - 2, n) =\frac{(2^{n} + n - 2)!}{(2^{n} -2)!n!}$

(esto se lee "Elegir $n$ elementos de un conjunto de $2^{n}+n-2$ artículos")