Resolver la ecuación de $z^3=z+\overline{z}$

Question

He estado tratando de resolver una ecuación de $z^3=z+\overline{z}$ donde $\overline{z}=a-bi$ si $z=a+bi$. Pero no puedo encontrar ninguna pista sobre cómo avanzar en eso. Por favor, ayudar.

Answer 1

La escritura de partes real e imaginaria de $z$ y separando las partes real e imaginaria de los rendimientos $$ x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3=2x $$ por lo tanto, $$ x^3-3xy^2=2x\implica x=0\quad\text{o}\quad x^2-3y^2=2 $$ y $$ 3x^2y-y^3=0\implica y=0\quad\text{o}\quad3x^2=y^2 $$ Si $y=0$,$x^3=2x\implies x\in\{0,\sqrt2,-\sqrt2\}$.

Si $x=0$,$y=0$.

Si $x^2-3y^2=2$$3x^2=y^2$,$-8x^2=2$.

Por lo tanto, $(x,y)\in\{(0,0),(\sqrt2,0),(-\sqrt2,0)\}$; es decir, $z\in\{0,\sqrt2,-\sqrt2\}$.

Answer 2

Usted tiene que $z^3$ es real, ya que es igual a $z+\bar{z}$. Por lo $z$ está en uno de los seis regularmente espaciados rayos que apunta desde el origen. En cuatro casos, de los seis, $z^3$ $z+\bar{z}$ oponerse a las partes reales y por lo tanto no pueden ser iguales. Esto sólo deja los dos rayos donde $z$ sí es real. Y la ecuación se reduce a $$z^3=2z\implies z(z-\sqrt{2})(z+\sqrt{2})=0$$

Answer 3

Tenga en cuenta que si $z=a+ib$ $z+\overline{z}=2a$ y $$ z^3=2a $$ Las raíces cúbicas de $2a$

\begin{align} \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{0} = & \sqrt[3]{2a} \\ \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{1} = & \sqrt[3]{2a}\big(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\big) \\ \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{2} = & \sqrt[3]{2a}\big(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}=\sqrt[3]{2a}\big(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\big) \end{align} donde $\omega=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$ es cualquier raíz cúbica de la unidad.Los posibles valores de $ a $ $ b $ se obtienen igualando $ z = a + ib$ a las raíces de dados anteriormente $2a$. \begin{align} \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{0} = & \sqrt[3]{2a} \\ \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{1} = & \sqrt[3]{2a}\big(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{1} \\ \sqrt[3]{2a}\cdot\omega^{2} = & \sqrt[3]{2a}\big(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\big)^{2}=\big(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\big) \end{align} Más explícitamente \begin{align} a+ib = & \sqrt[3]{2a} \\ a+ib = & \frac{1}{2}\sqrt[3]{2a}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{2a} \\ a+ib = & \frac{1}{2}\sqrt[3]{2a}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{2a} \end{align}

Answer 4

Ha $(a+bi)^3=2a$ Ahora expandir el cubo y equiparar las partes reales e imaginarias

Answer 5

$$z^3=z+\bar{z}=2\,{\rm Re}(z)\implies z^3\in{\bf R}\implies z=\omega r ~~(\omega^3=1,r\in{\bf R})$$

$$r^3=(\omega+\overline{\omega})r\implies\begin{cases} r=0 \\ r^2=2\,{\rm Re}(\omega) \implies\begin{cases} r=\pm\sqrt{2} & \omega=1 \\ r^2<0 & \omega\ne1\end{cases}\end{cases} $$

Por lo tanto las soluciones son $0$$\pm\sqrt{2}$.