¿Pregunta sobre la función de lyapunov global de un sistema biológico?

Question

Supongamos que tengo la siguiente función de Lyapunov que se utiliza a menudo en el modelo biológico: $V(x) = x - \ln x$ cómo está acotado por debajo, ya que como $x \rightarrow -\infty$ , $V(x) \rightarrow -\infty$ ? Mi opinión es que porque $x$ es biológico, sólo consideramos $x \geq 0$ Así que $V(x)$ está efectivamente acotado por debajo. Si esto es cierto, mi pregunta es: ¿suponiendo $x \geq 0$ afectan al resultado de estabilidad global que se obtiene al mostrar $V'(x) < 0$ ?

Answer 1

La función $V(x) = x - \ln x$ se define para $x>0$ y tenemos

• $V(x) = x - \ln x\implies V'(x)=1-\frac1x=0 \implies x=1$

y

• $V''(x)=\frac 1 {x^2}>0$

entonces $V(1)=1$ es un mínimo global.