¿Cómo encontrar el punto de silla de una función compleja?

Question

Esto debe ser muy simple porque las soluciones nunca parecen contener ningún trabajo utilizado para encontrar los puntos de la silla de montar, sólo se enumeran, pero estoy perdido.

Tomemos como ejemplo la función de Hankel;

$$ H_{\nu}^{(2)} = \frac{1}{i \pi} \int^{0 - i\epsilon}_{-\infty - i\epsilon} exp\left(\frac{x}{2}\left[ z - \frac{1}{z} \right]\right) \frac{dz}{z^{\nu +1}}$$

Creo que esto tiene puntos de montura en $\pm i$ pero no tengo ni idea de cómo resolverlo. ¿Cómo puedo calcular los puntos de equilibrio de esta función? En general, ¿cómo puedo calcular los puntos de equilibrio de cualquier función compleja?

Answer 1

El punto de silla es un método para evaluar la expansión asintótica de una integral $$ g(x)= \int_C \exp[x f(z)] h(z) dz $$ para $x\to \infty$ . Para ello hay que encontrar puntos $z^*$ tal que $$ f'(z_*) =0.$$ Esos puntos se llaman puntos de silla de montar y la deformación del contorno $C$ cruzar esos puntos (en la dirección correcta) le permite estimar $g(x)$ evaluando $f(z)$ y $h(z)$ para $z$ cerca de $z_*$ .

Para su caso concreto, tiene $f(z) = z- z^{-1}$ y, por tanto, los puntos de silla de montar vienen dados por $$ f'(z^*)= 1+ z_*^{-2} =0,$$ es decir $z_* = \pm i$ .

Sin embargo, no estoy seguro de lo que quieres decir con el punto de silla de cualquier función compleja.