Punto de reflexión en un círculo

Question

Estoy tratando de encontrar el punto en un círculo donde una fuente de luz se refleja en el punto focal de una cámara...

Así que tengo las coordenadas de la fuente de luz, el punto focal y el centro de un círculo. Creo que la luz se reflejará en un ángulo igual al ángulo de incidencia. He intentado formar ecuaciones con esta información, pero parece que siempre tengo demasiadas incógnitas...

Diagrama del problema

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Definir $\tan A={y_1-y_p\over x_1-x_p}\ ;\ \tan B={y_0-y_p\over x_0-x_p}\ \&\ \tan C={y_2-y_p\over x_2-x_p}$

Dado que el ángulo incidente es igual al ángulo reflejado, en $(x_p,y_p)$ Así que $$\tan (A-B)=\tan (B-C)\implies {\tan A-\tan B\over 1+\tan A\tan B}={\tan B-\tan C\over 1+\tan B\tan C}$$

Además, como $x_p,y_p$ debe estar en un círculo , debes conocer su radio $(=r)$ : ahí va otra ecuación $$(x_0-x_p)^2+(y_0-y_p)^2=r^2$$ $2$ ecuación y $2$ incógnitas, ¡BINGO!

Answer 2

Para facilitar las cosas, limito todos los puntos al primer cuadrante y también asumo que la superficie del espejo es la línea horizontal tangente y = k. Nuestro objetivo es encontrar k.

Sea R la reflexión de Q en torno a la recta y = k. Debido al ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, tenemos dos conjuntos de ángulos iguales (rojo y verde). Entonces, $R = (x_2, 2k – y_2)$ .

La ecuación de PR es $L :\dfrac {y – y_1}{x – x_1} = \dfrac {(2k – y_2) – y_1}{x_2 – x_1}$ .

Resolviendo L e y = k, obtendremos las coordenadas de O que es precisamente $(x_0, k)$ . Entonces tenemos una ecuación y una sola incógnita.

Nota:- Se necesitará un tratamiento especial en casos como $x_1 = x_2$ etc.