una pregunta de deberes sobre Levy air

Question

Tengo una pregunta en mi tarea:

Dejemos que $X_t$ y $Y_t$ sean dos movimientos brownianos emitidos de $0$ y definir

$$S_t=\int_0^tX_s\,dY_s-\int_0^tY_s\,dX_s$$

Demostrar que

$$E[e^{i\lambda S_t}]=E[\cos(\lambda S_t)]$$

¿Alguien tiene una idea? Intento mostrar que

$$E[\sin(\lambda S_t)]=0$$

Por la fórmula de Ito aplicada para $\sin(\lambda S_t)$ obtenemos

$$d\sin(\lambda S_t)=\lambda\cos(\lambda S_t)dS_t-\frac{\lambda^2}{2}\sin(\lambda S_t)\,d\langle S,S\rangle_t$$

Para calcular $d\langle S,S\rangle_t$ No estoy seguro de si mis cálculos son correctos o no:

$$d\langle S,S\rangle_t=(X_t^2+Y_t^2)\,dt$$

Desde $S_t$ es una martingala tenemos

$$E[\sin(\lambda S_t)]=-\frac{\lambda^2}{2}E\left[\int_0^t(X_t^2+Y_t^2)\sin(\lambda S_t)\,dt\right]$$

No sé si mis cálculos anteriores son correctos. ¿Podría alguien ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Desde $(X,Y)$ y $(X,-Y)$ están idénticamente distribuidos, la distribución de $S=(S_u)_{u\geqslant0}$ es impar. En particular, $\mathbb E(\varphi(S))=0$ para toda función integrable impar $\varphi$ . Para cada $t\geqslant0$ el funcional $\varphi:(x_u)_{u\geqslant0}\mapsto\sin(\lambda x_t)$ es impar y acotado. El resultado es el siguiente.

Answer 2

$S_t = -S_t$ en la distribución, por lo que $E[e^{i\lambda S_t}] = E[e^{-i\lambda S_t}]$ . Aviso $E[e^{i\lambda S_t}] = E[\cos(\lambda S_t)] + i E[\sin (\lambda S_t)]$ . Finalmente, $2E[e^{i\lambda S_t}] = E[e^{i\lambda S_t}] + E[e^{-i\lambda S_t}] = 2 E[\cos(\lambda S_t)]$ .