La torsión del espaciotiempo, el tensor de espín y el espín intrínseco en la teoría de Einstein-Cartan

Question

En Einstein-Cartan gravedad, la acción es la habitual Acción de Einstein-Hilbert pero ahora se permite que el tensor de torsión también varíe (en la RG habitual, simplemente se pone a cero).

La variación con respecto a la métrica da:

$$R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab}=\kappa P_{ab} \quad (1)$$

donde $P_{ab}$ es el tensor de energía de tensión canónico. Variación con respecto al tensor de torsión ${T^{ab}}_c$ da:

$${T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d = \kappa {\sigma_{ab}}^c \quad (2)$$

donde ${\sigma_{ab}}^c$ es el Tensor de giro .

Contrayendo esa ecuación, puedo ver que si el tensor de espín es cero, el tensor de torsión es idénticamente cero:

$${T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d = \kappa {\sigma_{ab}}^c = 0$$ $$ {g^b}_c({T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d) = 0$$ $$ {T_{ab}}^b + {g_a}^b{T_{bd}}^d - {g_b}^b {T_{ad}}^d = 0$$ $$ {T_{ab}}^b + {T_{ad}}^d - 4 {T_{ad}}^d = 0$$ $$ {T_{ad}}^d = 0$$ $${T_{ab}}^c + {g_a}^c{T_{bd}}^d - {g_b}^c {T_{ad}}^d = 0 \quad \Rightarrow \quad {T_{ab}}^c =0$$

Según tengo entendido:

El tensor de espín y el tensor de energía de tensión, se definen completamente en términos de cualquier Lagrangiano de materia que añadamos a la teoría. Por lo tanto, desde arriba, las ecuaciones en el vacío son exactamente las mismas que las de la RG normal (así que resolviendo fuera de la materia, sólo las condiciones de contorno con la materia podrían ser diferentes).

Suponiendo que lo que he entendido hasta aquí es correcto, mi línea de preguntas es:

1. ¿Cómo se relaciona el tensor de espín (y por tanto la torsión) con el concepto de material con espín intrínseco?

2. Espero que la respuesta sea 1, pero si la materia tiene un espín intrínseco nulo, y sin embargo tenemos un cuerpo extendido que "gira", ¿el tensor de espín sigue siendo nulo (ya que entonces lo consideraría momento angular orbital)?

3. ¿Significa esto que las predicciones de Einstein-Cartan son idénticas a la RG normal de Einstein si (y sólo si) el espín intrínseco de cualquier partícula y campo en la teoría es cero?

Answer 1

Por favor, permítame primero referirme a lo siguiente revisar de I. L. Shapiro, que contiene mucha información teórica y fenomenológica sobre la torsión del espaciotiempo. La respuesta se basará principalmente en esta revisión.

En la teoría básica de Einstein-Cartan, en la que la parte antisimétrica de la conexión se toma como grados de libertad adicionales independientes, la torsión no es dinámica: (aparte de un término de superficie que no contribuye a las ecuaciones de movimiento).

En lo que sigue, sólo se considerará el acoplamiento mínimo a la gravedad (en el que el tensor métrico plano se sustituye por el tensor métrico completo y las derivadas se sustituyen por derivadas covariantes). Hay un gran número de sugerencias para acoplamientos no mínimos en la mayoría de los cuales la torsión se vuelve dinámica.

La contribución de la torsión a la parte gravitacional del Lagrangiano es cuadrática en las componentes de la torsión, véase la ecuación de Shapiro (2.15), donde los términos adicionales a la torsión pueden expresarse más económicamente utilizando el tensor de contorsión cuyos componentes son combinaciones lineales del tensor de torsión:

$$ K_{\alpha\beta\gamma} = T_{\alpha\beta\gamma} -T_{\beta\alpha\gamma}-T_{\gamma\alpha\beta}$$

Un campo escalar que se acopla mínimamente a la gravedad, no requiere derivadas covariantes porque la derivada covariante de un escalar es idéntica a su derivada ordinaria, por lo que la lagrangiana del campo escalar no depende de la torsión, por lo que en el caso de un campo escalar acoplado a la gravedad, la torsión permanece sin fuente, y sus ecuaciones de movimiento implican su desaparición.

Cuando el campo de Dirac se acopla a la gravedad con torsión, el Lagrangiano puede escribirse de la siguiente forma

$$\mathcal{L} = e^{\mu}_a\bar{\psi}\gamma^a (\partial_{\mu} -\frac{i}{2}\omega_{\mu}^{cd}\sigma_{cd} )\psi + e_{\mu a} K_{\alpha\beta\gamma} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

( $e$ son los vielbeins y $\omega$ (la parte sin torsión de la conexión de espín, ambas no dependen de la torsión).

Tomando la variación con respecto a las componentes de contorsión, obtenemos una ecuación algebraica de movimiento para el tensor de contorsión:

$$ K^{\alpha\beta\gamma} = \frac{\kappa}{4}e_{\mu a} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

( $\kappa = 8 \pi G$ ). El último término del lagrangiano es simplemente de la forma

$$\mathcal{L_K} = K_{\alpha\beta\gamma} \sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

Dónde $\sigma^{\alpha\beta\gamma}$ es la parte de espín intrínseca de la corriente de Noether correspondiente a la simetría local de Lorentz:

$$M^{\alpha\beta\gamma} = x^{\alpha}\Theta^{\beta\gamma}-x^{\beta}\Theta^{\alpha\gamma}+\sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

$\Theta$ es el tensor de energía de la tensión. Este ejemplo muestra que para el campo de Dirac, la fuente de torsión es el tensor de espín.

Como se puede observar, la torsión se acopla axialmente al campo de Dirac. Se sabe que este tipo de acoplamiento produce anomalías. Un análisis cuidadoso muestra que en el sector bariónico, los mismos criterios de cancelación de anomalías del modelo estándar conducen a la cancelación de las anomalías axiales debidas a la torsión también, pero no en el sector leptónico. Esta es una de las dificultades de esta teoría. Una posible solución es absorber la contribución de la torsión en la definición de la corriente axial. Al contrario de lo que ocurre con los campos gauge y fotónico, donde esta contribución no es invariante gauge, ya que el campo de torsión no es un campo gauge, esta redefinición parece posible. Esto también parece coherente con el teorema del índice de Atiyah-Singer, que establece que la densidad de anomalías debe ser igual a la clase Pontryagin, que es un invariante topológico, mientras que la torsión puede introducirse sin alterar la topología.

Hay otra dificultad relacionada con el acoplamiento de la torsión que proviene del hecho de que la torsión se acopla sólo a la parte intrínseca de los campos:

En el caso de los campos gauge, como el campo de Maxwell. El espín intrínseco no es invariante gauge y sólo la suma del espín y el momento angular orbital es invariante gauge. Así, aunque el acoplamiento mínimo conduce a un acoplamiento de la torsión al espín intrínseco, se pierde la invariancia gauge. El siguiente estudio reciente artículo de Fresneda, Baldiotti y Pereira revisa algunas de las sugerencias para superar este problema.