Si p y q son números primos distintos, es cierto que siempre tenemos $p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \mod pq$ ?

Question

Si p y q son números primos distintos, es cierto que siempre tenemos $p^{q-1}+q^{p-1} \equiv 1 \mod pq$ ? En general, si $m,n \in \mathbb{N}$ son relativamente primos, ¿es cierto que $n^{\phi(m)}+m^{\phi(n)} \equiv 1 \mod mn$ ?

En primer lugar, experimenté con los diferentes números para cada una de las declaraciones. Encontré para la primera afirmación que cuando p=1 y q=2 entonces $p^{q-1}+q^{p-1}=1^{2-1}+2^{1-1}=1+1 \equiv 0 \mod 2$ . Por lo tanto, la primera afirmación no es cierta.

Pero para la segunda afirmación cuando m=1 y n=2, la afirmación sigue siendo verdadera. Sé que si m es primo entonces $\phi(m)=m^1-m^{1-1}=m-1$ por $\phi(m^k)=m^k-m^{k-1}$ . Del mismo modo, encontramos $\phi(n)=n-1$ cuando n es primo. Entonces $n^{\phi(m)}+m^{\phi(n)}=n^{m-1}+m^{n-1}$ que es lo mismo que la primera declaración. ¿Por qué ocurre esto? ¿No debería fallar igual que la primera declaración?

Answer 1

Tienes razón en que la afirmación sobre los primos es un caso especial de la afirmación para los generales (relativamente primos) $m,n$ .

En realidad, ambas afirmaciones son siempre ciertas.

Pienso en esto de la siguiente manera:

Si $m,n$ son relativamente primos, entonces $m$ es una unidad del anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Desde $\varphi(n)$ es el grupo unitario de este anillo, $m^{\varphi(n)}$ es definitivamente $1$ mod $n$ . Mientras tanto, $n^{\varphi(m)}$ es un múltiplo de $n$ desde $\varphi(m)\geq 1$ Por lo tanto

$$m^{\varphi(n)} + n^{\varphi(m)} = m^{\varphi(n)} = 1\mod n$$

El mismo argumento con $m$ y $n$ invertido muestra que $m^{\varphi(n)} + n^{\varphi(m)} = 1\mod m$ . Por el teorema del resto chino, existe un único residuo mod $mn$ que es 1 mod $m$ y $n$ claramente es $1$ . Así, $m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}$ , siendo $1$ mod $m$ y mod $n$ es $1$ mod $mn$ .