Demostrar que el interior del límite está vacío

Question

Supongamos que X es un espacio métrico

Sea S $\subset X$

Demostrar que si S es cerrado entonces, el interior del límite de S es vacío

Totalmente atascado en cómo resolver esto.

Answer 1

Es cierto en topología general que el límite de un conjunto abierto tiene el interior vacío, y lo mismo ocurre con un conjunto cerrado.

Lema: Un conjunto $U$ está abierto si $\partial U = \bar{U}\setminus U$ .

$U$ sea un conjunto abierto. Entonces $\partial U$ es disjunta de $U$ . Supongamos por contradicción que $\partial U$ contiene un conjunto abierto no vacío $O$ y que $x \in O$ . Entonces, como $x \in \bar{U}$ cada barrio de $x$ se cruza con $U$ y en particular $O\cap U \neq\emptyset$ una contradicción. Ahora para cada conjunto $A$ , $\partial A = \partial (A^C)$ La frontera de todo conjunto cerrado tiene también un interior vacío.

Answer 2

Sugerencia: Deja que $\partial S$ sea el límite de $S$ . (No sé si estás familiarizado con esa notación). $x\in\partial S$ si y sólo si cada barrio $U$ de $x$ contiene $y\in S$ diferente de $x$ y un punto $z$ que no está en $S$ .