Si $\lim_{x \to -3} \dfrac{f(x) -2 }{x + 3} = 2$ entonces encuentra $\lim_{x \to -3} f(x)$

Question

Pregunta de cálculo sobre la evaluación de límites con denominador que parece dividir por cero. Esta pregunta es interesante porque multiplicar por el conjugado del denominador no funciona.

Necesitaría algo de ayuda en esto. Gracias.

Dado que

$$\lim_{x \to -3} \frac{f(x)-2}{x+3} = 2$$

evaluar

$$\lim_{x \to -3} f(x)$$

Answer 1

Porque $\lim\limits_{x\to -3} \displaystyle\frac{f(x)-2}{x+3}$ existen y claramente $\lim\limits_{x\to -3} (x+3)$ existe, entonces el producto de los límites existe y además, es el producto de los límites, es decir $$0=2(0)=\lim\limits_{x\to -3} \displaystyle\frac{f(x)-2}{x+3} \lim\limits_{x\to -3}(x+3)=\lim\limits_{x\to -3} \frac{f(x)-2}{x+3} (x+3)=\lim\limits_{x\to -3} f(x)-2$$ Ahora, porque $\lim\limits_{x\to -3}2$ claramente existe, entonces, la suma de los límites existe y además, es la suma de los límites, es decir, $$\lim\limits_{x\to-3} f(x)= \lim\limits_{x\to-3}2+f(x)-2=\lim\limits_{x\to -3} 2 + \lim\limits_{x\to -3} f(x)-2=2+0=2$$ Así, $\lim\limits_{x\to-3} f(x)=2$

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\lim_{x\to-3}{x+3}=0.$$

Por lo tanto, como $x$ va a $-3$ el denominador va a 0. Entonces la única manera de que

$$\lim_{x \to -3} \frac{f(x)-2}{x+3}$$

para no ir al infinito cuando el denominador va a 0 es si el numerador también va a 0. Por lo tanto

$$\lim_{x\to-3}{f(x)-2}=0,$$

así que

$$\lim_{x\to-3}{f(x)}=2.$$