¿Cuántas veces están las agujas de un reloj a 33 grados?

Question

¿Cuántas veces se colocan las manecillas de un reloj de forma que haya un ángulo de $33°$ entre ellos en un día?

Mi intento:

El minutero se mueve 360 grados en 60 minutos. Esto significa que el ángulo del minutero viene dado por 6t, donde t es el número de minutos que han pasado de la medianoche.

La aguja de las horas se mueve 30 grados en 60 minutos. Esto significa que el ángulo de la aguja de las horas viene dado por 0,5t.

Las manecillas comienzan a juntarse a medianoche. La primera vez que forman un ángulo de 33 grados es cuando la manecilla de los minutos se ha movido 33 grados más que la manecilla de las horas, por lo que esto viene dado por la ecuación:

$6t = 0.5t + 33 \Rightarrow 5.5t = 33 \Rightarrow t = 6 minutes$ . En otras palabras, unos 6 minutos después de la medianoche.

He comprobado que 22 veces la aguja de las horas y los minutos están en ángulo de 33 grados . ¿Cómo puedo encontrar este número? ¿Cómo puedo encontrar las 22 veces?

Answer 1

Este problema no requiere ninguna matemática compleja para resolverlo: durante un día, la aguja de las horas da dos vueltas, y la de los minutos 24, en la misma dirección. Por lo tanto, las dos agujas estarán exactamente en la misma posición 22 veces. Es decir, habrá una diferencia de $0$ grados entre ellos $22$ veces. Pero, cualquier otra diferencia de grado, digamos $x$ grados, ocurrirá exactamente esa cantidad de veces también, porque esa diferencia ocurrirá exactamente una vez entre dos momentos sucesivos en los que la diferencia es $0$ . Por lo tanto, no importa de qué diferencia de grados estemos hablando, ocurrirá $22$ veces al día.

Answer 2

Así que, después de $t$ minutos, la diferencia de ángulos $$6t-\dfrac t2=\dfrac{11t}2$$

Necesitamos $$\dfrac{11t_r}2=360^\circ r\pm33^\circ$$ donde $r$ es un número entero cualquiera

$$\iff t_r=\dfrac{2(360^\circ r\pm33)}{11}$$

Así que, $t_{n+1}-t_n=\dfrac{720}{11}$

Así, en $24$ horas, cada una de estas dos $+33^\circ,-33^\circ$ se produce $$\dfrac{24\cdot60}{\dfrac{720}{11}}=22$$ veces

Answer 3

Dejemos que $M$ sea el minutero y $H$ la manecilla de la hora. Entonces tenemos que la velocidad angular de $M$ es $6°$ por minuto y la de $H$ es $0.5°$ por minuto. Así, $M$ se mueve $12$ veces más rápido que $H$ .

Ahora, cuando $M$ se ha convertido $\theta$ grados desde la medianoche, $H$ sólo ha cubierto $\theta/12$ grados. Queremos $\theta$ para que $$\theta-\frac\theta{12}=33.$$ Por lo tanto, $M$ es siempre $\theta=36°$ del último punto donde la restricción $\theta-\theta/12=33$ estaba satisfecho.

En un giro completo de $M$ por lo tanto, esta diferencia angular entre $H$ y $M$ se produce $360°/36°=10$ veces, por lo que ya que hay $24$ vueltas completas de $M$ en un día -- el número de veces que el ángulo entre $H$ y $M$ es $33°$ es $240.$