Demuestra que la función dada: $h(x) = x^2$ es continua en todo número real

Question

Utiliza la definición de continuidad para demostrar que la función dada: $h(x) = x^2$ es continua en todos los números reales.

Hasta ahora para mi prueba tengo:

Dejemos que $\epsilon >0$ se nos dé. Debemos demostrar que existe una $\delta >0$ tal que $$|x-c| < \delta \Rightarrow |x^2-c^2| < \epsilon.$$

Aquí es donde me encuentro con un problema al tratar de averiguar qué elegir para $\delta$ para ser iguales también.

Para mi trabajo de scratch tengo:

$|x^2-c^2| = |(x-c)(x+c)| = |x-c||x+c|$ (Sé que la parte que me da el problema es $|x+c|$ )

Dejemos que $|x-c| <1 $

Entonces, $|x+c| = |x-c+2c|\leq |x-c|+2|c| < 1+ |2c|$

Aquí es donde me quedo atascado no sé a dónde ir desde aquí

Answer 1

Usted había encontrado que $$|x^2 -c^2| < |x-c| (1 + 2|c|)$$ para cualquier $c$ y $x$ tal que $|x-c| <1$ .

Dado $\epsilon >0$ , defina $\delta :=\min\{1,\frac{\epsilon}{1+2|c|}\}$ (Obsérvese que el denominador del segundo término es siempre positivo.) Tenemos :

\begin{align} |x-c| < \delta \implies & |x-c| < 1 \, \text{and} \\ & |x-c| < \frac{\epsilon}{1+2|c|} \end{align} Esto significa que \begin{align}|x^2 -c^2| &< |x-c| (1 + 2|c|)\\ &< \frac{\epsilon}{1+2|c|} (1 + 2|c|) = \epsilon \end{align}

Answer 2

Si $x- c\approx 0$ entonces $x \approx c$ y $|x + c| \approx 2|c|$ y como $c$ es constante para evaluar EN $x = c$ se nos permite (aunque I prefieren no hacerlo) para utilizar $c$ si intentamos demostrar $f$ es continua en $x=c$ . (Lo que pasa, y esta es la razón por la que prefiero no hacerlo, es que necesitamos un diferentes $\delta$ en términos de $c$ para cada punto tratamos de evaluar la continuidad de $x$ en. Pero eso es aceptable).

Así que para poner el argumento de que $x-c \approx 0$ etc. en válido términos de $\delta$ ....

Reclamación: Si $|x-c| < \delta$ entonces $|x+c| < 2|c| + \delta$ .

Argumento:

Si $|x-c| < \delta$ entonces $-\delta < x- c < \delta$ y $c-\delta < x < c+\delta$ . SO $2c - \delta < x+c < 2c +\delta$ .

Si $c \ge 0$ entonces $-2c - \delta < 2c - \delta < x+c < 2c + \delta$ y $|x+c| < 2|c| +\delta$ .

Si $c < 0$ entonces $-2|c| - \delta < x+ c < -2|c| + \delta < 2|c| + \delta$ y $|x+c| < 2|c| + \delta$ .

Así que de cualquier manera: $|x+c| < 2|c| + \delta$ .

Bastante bien.

.......

Así que si $|x-c| < \delta$ entonces $|(x-c)(x+c)| < \delta(2|c| + \delta) = \delta^2 + 2|c|\delta$ .

Si asumimos $\delta \le 1$ entonces $\delta^2 \le \delta$ y $\delta^2 + 2|c| \delta \le (1+2|c|)\delta$ .

Así que quiere para cualquier $\epsilon > 0$ entonces $(1+2|c|)\delta \le \epsilon$ así que dejemos $\delta = \min (1, \frac {\epsilon}{1+ 2|c|})$ y somos de oro.

Si $|x-c| < \delta$ entonces $|x^2 -c^2| = |x-c||x+c|< \delta (\delta + 2|c|)\le \delta^2 + 2|c|\delta \le (1+2|c|)\delta \le \epsilon$ .