¿Desaparición de una función con un argumento desplazado?

Question

Dada una función $f(x)$ con $x\in \mathbb{R}$ ¿la condición

$$f(x+1)=0\text{ for all }x$$

implican necesariamente $f(x)\equiv 0$ ?

Lo pregunto porque, por ejemplo, en un caso en el que $f(x)$ se define con apoyo local, por ejemplo

$$f(x)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{2\epsilon}e^{-\frac{|x|}{\epsilon}}$$

$f(x)$ sólo es distinto de cero en el valor original $x$ y desplazar el argumento a $x+1$ la quita del soporte local y la hace desaparecer sin hacerla cero en el original $x$ .

Por supuesto, se podría considerar una situación en la que empezáramos con $f(x-1)$ y cambiar el argumento para que sea $x$ y después del desplazamiento la expresión debe desaparecer igual, pero de alguna manera me parece que esto sólo redefine el origen y no hace ninguna declaración sobre el valor de la función en el punto original ( $x-1$ en este caso).

¿Tiene esto algún sentido, o me estoy confundiendo?

Answer 1

Sí, por supuesto, para cualquier $x$ existe $y=x-1$ y luego

$$f(x)=f(y+1)=0$$