Pico de una secuencia.

Question

Proporcióneme un ejemplo de una secuencia que tenga un número finito de picos.

Definición: Que $<a_n>$ sea una secuencia, entonces $a_m$ es el punto máximo o un pico de $<a_n>$ si $a_m \ge a_n$ $\forall n \ge m$

Mi intento:

Conozco un ejemplo de secuencia $$a_n = \left\{\begin{array}{lr} {1\over n} + 1 & \text{for } n \leq 5\\ n & \text{for } n >5 \end{array}\right.$$ que tiene un número finito de puntos máximos. Pero no satisface la definición de picos. Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Es fácil construir este tipo de secuencias a partir de una secuencia acotada original que es monótona creciente. Por ejemplo, $a_n = \arctan(n)$ es uno, delimitado arriba por $\pi/2$ . Así que puede especificar un $a_i$ tal que $(a_i)$ es una secuencia finita monótona decreciente y $a_i > \pi/2 \; \forall i$ . Entonces cada $a_i$ especificado es un pico según la definición proporcionada.

Ejemplo:

$$a_n = \left\{ \begin{matrix} 10 & n=1 \\ 9 & n=2 \\ 8 & n=3 \\ \arctan(n) & n \ge 4 \end{matrix} \right.$$