En $P^n f(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n\choose k} f\left(\frac{x}{2^k}\right)$ convergen uniformemente en conjuntos compactos, para $f\in C_b (\mathbb{R})$ ?

Question

Se puede demostrar que el sistema de funciones iteradas que consiste en transformaciones $$S_1(x)=x, \;\;\ S_2(x)=\frac{1}{2}\;\;\; (x\in\mathbb{R})$$ con probabilidades constantes $$p_1=p_2=\frac{1}{2}$$ es asintóticamente estable con la medida de Dirac $\delta_0$ como una medida invariante única, es decir, para su operador de Markov (dual) $P$ dado por $$Pf(x)=\frac{1}{2} \left(f(x) + f\left(\frac12 x\right)\right)\;\;\; (x\in \mathbb{R},\; f\in C_b(\mathbb{R})),$$ donde $C_b(\mathbb{R})$ representa el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de valor real, tenemos $$P^n f(x)\to \int_{\mathbb{R}} f(y)\,\delta_0(dy)=f(0)\;\;\; (f\in C_b(\mathbb{R})).$$ Mi pregunta es: ¿La secuencia $(P^n f)_{n\geq 1}$ convergen uniformemente a $f(0)$ en conjuntos compactos, para cualquier $f\in C(\mathbb{R})$ ? He calculado que $$P^n f(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n {n\choose k} f\left(\frac{x}{2^k}\right)$$

Supongo que no, pero no encuentro una función adecuada. He probado con $x\mapsto (\sin x) /x$ (y 1 en $x=0$ ) pero no sé cómo mostrarlo.

Answer 1

Dejemos que $K\subset \Bbb R$ compacto, $R$ tal que $|x|\leq R$ para todos $x\in K$ y $\varepsilon>0$ . Dejemos que $\delta$ en la definición de continuidad en $0$ y $k_0$ tal que $R\cdot 2^{—k_0}\leq\delta$ . Entonces tenemos \begin{align} |P^nf(x)-f(0)|&\leq \frac 1{2^n}\sum_{k=0}^{k_0}\binom nk\left|f\left(\frac x{2^k}\right)-f(0)\right|+\frac 1{2^n}\sum_{k=k_0+1}^n\binom nk\left|f\left(\frac x{2^k}\right)-f(0)\right|\\ &\leq\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^{k_0}\binom nk\left|f\left(\frac x{2^k}\right)-f(0)\right|+\varepsilon\\ &\leq 2\sup_{t\in K}|f(t)|\frac 1{2^n}\sum_{k=0}^{k_0}\binom nk+\varepsilon. \end{align} Desde $\sum_{k=0}^{k_0}\binom nk$ es polinómico en $n$ obtenemos el resultado deseado.