¿Cuál es la probabilidad de que los cumpleaños de dos personas coincidan siempre en el mismo día de la semana?

Question

Esto está relacionado con la regla del día del juicio final. Algunos días del año, como el 4/4 y el 6/6, coinciden siempre en el mismo día de la semana en un año determinado.

Una primera aproximación sería $\frac17$ .

Pero si una persona nació en enero o febrero, y la segunda persona nació después de febrero, entonces no hay manera de que siempre tengan sus cumpleaños en el mismo día de la semana tanto en los años bisiestos como en los no bisiestos.

Si ambos están en el rango de enero a febrero, o ambos están en el rango de marzo a diciembre, entonces está bien.

Esta restricción hace que las probabilidades sean un poco más bajas que $\frac17$ ¿pero cuánto más bajo?

No sé qué hacer con las personas que han nacido en un día bisiesto. Así que supongo que podemos dejarlos fuera. Resuelve para dos personas en las que ninguna haya nacido en día bisiesto.

Answer 1

Si es imposible nacer el 29 de febrero y otras fechas son igualmente probables entonces en enero y febrero hay $59=8\times 4+9 \times 3$ días y en los otros diez meses hay $306=43\times 2+44 \times 5$ días

por lo que la probabilidad sería $\dfrac{8^2\times4+9^2\times3+43^2\times2+44^2\times5}{365^2} \approx 0.10416$ , sustancialmente menos que $\frac17 \approx 0.14286$

Si es posible nacer el 29 de febrero (digamos con $\frac14$ la probabilidad de otras fechas) y otras fechas son igualmente probables entonces quizás la probabilidad sería $\frac{8^2\times4+9^2\times3+0.25^2\times1 +43^2\times2+44^2\times5}{365.25^2}\approx 0.10402$ que apenas se ha modificado

Answer 2

Una estimación aproximada, sin tener en cuenta que los meses tienen distinta duración, es la siguiente.

La probabilidad de que ambas personas hayan nacido en enero o febrero es $(1/6)^2$ y la posibilidad de que ambas personas hayan nacido entre marzo y diciembre es $(5/6)^2$ . Así que debería obtener algo como

$$ {1 \over 7} \left( \left( {1 \over 6} \right)^2 + \left( {5 \over 6} \right)^2 \right) = {26 \over 252} \approx 0.103$$

como respuesta. Las respuestas exactas que la gente ha dado son muy parecidas a esta.

Dependiendo del motivo por el que intente responder a esta pregunta, puede que no esté respondiendo a la pregunta correcta. Mi cumpleaños es el 9 de diciembre y el de mi madre el 13 de enero. ¿Cumplimos años el mismo día de la semana? Si hablamos del mismo año, no. Si estamos comparando el 9 de diciembre del año $N$ al 13 de enero del año $N+1$ (Si no le interesa mi familia: ¿la Navidad y el Año Nuevo coinciden en el mismo día de la semana?)

Answer 3

Suponiendo que no tengamos en cuenta a los nacidos el 29 de febrero.

La primera persona podría nacer en cualquiera de los 365 días. La segunda persona podía nacer en cualquiera de los 365 días. Las dos personas no necesariamente nacieron en el mismo año.

Hay 59^2 combinaciones en las que ambos han nacido en enero o febrero. 1/7 de estas parejas tendrán el mismo cumpleaños.

Hay 306^2 combinaciones en las que ambos han nacido de marzo a diciembre. 1/7 de estas parejas tendrán el mismo cumpleaños.

Hay 365^2 combinaciones en total.

((((59^2)/7) + ((306^2)/7))/(365^2) que es aproximadamente 0,10414

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Editar:

Hay un problema con la solución anterior. Para ilustrar el problema, consideremos una pregunta diferente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas nacidas entre el 1 y el 8 de enero cumplan años el mismo día de la semana cada año? Utilizando el método anterior, veríamos que hay 64 combinaciones posibles, y cada una de las combinaciones tiene aproximadamente 1/7 de posibilidades de coincidir en el mismo día de la semana, por lo que una respuesta aproximada a la pregunta del 1 de enero al 8 de enero es ((8^2)/7)/(8^2) = 1/7, lo que equivale a 0,14286.

Sin embargo, si se dibuja la cuadrícula de 8 por 8 y se marcan las casillas en el mismo día de la semana, se marcarían las 8 casillas de la diagonal y las otras dos esquinas. Así que marcarías un total de 10 casillas. Por lo tanto, la respuesta correcta a la pregunta del 1 de enero al 8 de enero es 10/64, que es 0,15625.

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Ignorando temporalmente el año bisiesto por completo... Si estamos considerando una cuadrícula con x días, y queremos contar el número de combinaciones "marcadas" con el mismo día de la semana, podemos utilizar (1+x^7)/(1-x)^2/(1-x^7), que aparece como A008814 en la Enciclopedia en línea de las secuencias de números enteros.

Esta cuenta exacta sustituye a la aproximación de (x^2)/7 en mi solución original.

Hmm... la secuencia de enteros es correcta, pero esa expresión no parece correcta.

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Editar:

La fórmula de OEIS no parece correcta. En su lugar, calculé los valores para los valores 59 y 306 de la secuencia de enteros con una hoja de cálculo, y obtuve los resultados 499 y 13.378 Por lo tanto, la respuesta correcta exacta es (499 + 13378)/(365^2) que es aproximadamente 0.10416