Para la parte $(a)$ usted está casi listo. Si $\mathrm{det}(A)=0$ y
$$A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 \end{bmatrix},$$
a continuación, $(a_1,a_2,a_3)=c_1(a_4, a_5, a_6)+c_2(a_7,a_8,a_9)$ algunos $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$. Tenga en cuenta que $c_1, c_2 \neq 0$ por supuesto desde $a_i \neq a_j$ siempre $i \neq j$. Por construcción, vemos que el cambio de cualquiera de las dos entradas en cualquier columna se asegura de que el rango de la matriz se convertirá $3$ y el factor determinante será, por tanto, ser distinto de cero.
E. g., se da eso $a_1=c_1a_4+c_2a_7$. Pero si cambiamos $a_1$$a_4$, podemos demostrar que no puede existir $c_3$ $c_4$ tal que $a_4=c_3a_1+c_4a_7$, $a_2= c_3a_5+c_4a_8$, y $a_3=c_3a_6+c_4a_9$ menos que cualquiera de las $c_1=0$, $c_2=0$, $a_1=a_2$, $a_4=a_5$, o $a_8=a_9$. Dejo esto para usted para verificar. (Edit: como el OP me señaló en los comentarios de abajo, también he supone aquí que los vectores columna de a $A$ no eran múltiplos escalares. Gracias Lebron!). Ahora sabemos cómo rectificar la situación donde $\mathrm{det}(A)=0$. Ya ha demostrado de qué hacer si el determinante es negativo, por lo que la construcción es completa.
Para la parte $(b)$, podemos trabajar hacia atrás a partir de la situación en la que $N=1$. Claramente, puesto que no hay sino una sola matriz podemos construir y su determinante es cero, este es el caso de degeneración. Considere la posibilidad de $N=2$. Ahora tenemos que comprobar sólo $4$ escenarios: cuando podemos particionar el conjunto de $\{a_i\}_{1\leq i \leq 9}$ en subgrupos de orden $1$ $8$ de manera tal que cada elemento en cada subconjunto es redundante, la instancia cuando dicha partición en subconjuntos crea subconjuntos de orden $2$$7$,$3$$6$, y, finalmente, $4$ $5$. Nos muestran que es posible terminar en una situación en la que una matriz de cero determinante no puede ser construida.
Considere el ejemplo de cuando los $a_i=a_j$ todos los $1 \leq i,j \leq 8$ $a_9$ es la distinta elemento. A continuación, para cada matriz de dos filas son iguales el uno al otro, y el rango es necesariamente dos.
Considere ahora al $N=3$. Me dicen que este es el mínimo. En este caso, sólo hay $7$ único particiones del conjunto tal que para cada subconjunto, todos los elementos son redundantes. Las órdenes de los subconjuntos en cada instancia se
$$\{1,1,7\}, \{1,2,6\}, \{1,3,5\}, \{1,4,4\}, \{2,2,5\}, \{2,3,4\}, \text{and} \{3,3,3\}.$$
E. g, en la partición de $\{1,3,5\}$, hay un número que sólo se produce una vez en la matriz, un número que se produce $3$ a veces, y es un número que se produce $5$ veces.
Llame a los tres elementos distintos $a$, $b$, y $c$ y dejar la partición indicar el número de cada uno: $\{\#a,\#b,\#c\}$. Vamos a mostrar ahora por la construcción que para cada una de las particiones, una matriz de rango 3 existe.
Para {1,1,7}:
\begin{bmatrix}
a & c & c \\
c & b & c \\
c & c & c
\end{bmatrix}
Para {1,2,6}:
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
c & b & c \\
c & c & c
\end{bmatrix}
Para {1,3,5}:
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
c & b & c \\
c & b & c
\end{bmatrix}
Para {1,4,4}:
\begin{bmatrix}
a & b & b \\
c & b & c \\
c & b & c
\end{bmatrix}
Para {2,2,5}:
\begin{bmatrix}
a & a & b \\
c & b & c \\
c & c & c
\end{bmatrix}
Para {2,3,4}:
\begin{bmatrix}
a & a & b \\
c & b & c \\
c & b & c
\end{bmatrix}
Para {3,3,3}:
\begin{bmatrix}
a & b & a \\
c & c & b \\
b & a & c
\end{bmatrix}
Ufff! Me encantaba, era una muy buena pregunta y tengo la sensación de que esta no es la mejor manera de probar esto! Por favor, hágamelo saber si usted piensa que he cometido algún error aquí.
