Aquí es una buena prueba de la desigualdad isoperimétrico (igualdad parte no se incluye):
Desigualdad Isoperimétrico
Si $\gamma$ es cualquier simple y cerrada a trozos $C^1$ de la curva de longitud $l$, con la parte interior de tener el área de $A$, entonces $4\pi \le l^2$. Además, si la igualdad tiene entonces $\gamma$ es un círculo.
Prueba.
Tomar dos rectas paralelas, $L$ y $L'$ tal que $\gamma$ es entre ellos y moverlos juntos hasta que toque la curva. Ver mi bonita imagen de abajo.
Deje que C es un círculo como en la imagen. Tomar $x$ y $y$ ejes, como se muestra. Deje que $\gamma = (x,y)$ ser una parametrización de $\gamma$. Los puntos de recogida $\gamma (s_0)$ y $\gamma (s_1)$ tanto $L$ y $L'$ donde las líneas de tocar la curva, respectivamente.
Vamos a $C$ parametrizar por $(x, \overline{y})$, donde
$$ \overline{y}(s) = \begin{casos} + \sqrt{r^2 - x^2 (s)}, & \text{si } s_0 \le s \le s_1 \\ - \sqrt{r^2 - x^2 (s)}, & \text{si } s_1 \le s \le s_0 + l \end{casos} $$
Denotar la derivada de $f$, con respecto a $s$ $f_s$. Usando el Verde del Teorema, podemos escribir:
$$A + \pi r^2 = \int_{\gamma} x\,dy + \int_C -y\,dx = \int^l_0 x(s)y_s(s)\,ds - \int^l_0 \overline{y}(s)x_s(s)\,ds = $$
$$ = \int^l_0 ( x(s)y_s(s) - \overline{y}(s)x_s(s)) \,ds \le \int^l_0 \sqrt{ (x(s)y_s(s) - \overline{y}(s)x_s(s))^2} \,ds \stackrel{*}{\le}$$
$$ \stackrel{*}{\le} \int^l_0 \sqrt{ (x^2(s) + \overline{y}^2(s))} \,ds = lr$$
Donde la protagonizó la desigualdad se deduce del hecho de que:
$$(x y_s - \overline{y} x_s)^2 = [(x, - \overline{y}) \cdot (y_s, x_s)]^2 \le (x^2 + \overline{y}^2) \cdot (y^2_s + x^2_s) = x^2 + \overline{y}^2 $$
Así que tenemos que $a + \pi r^2 \le lr$. El próximo empleamos el Geométrico-Media Aritmética de la Desigualdad a encontrar que:
$$\sqrt {\pi r^2} \le \dfrac{A + \pi r^2}{2} \le \dfrac{lr}{2}$$
A partir de la cual se sigue directamente que $4 \pi \le l^2$, según sea necesario. $\square$
He visto otras pruebas de este Teorema, por ejemplo el uso de Wirtinger la Desigualdad. Esta prueba fue presentada por mi profesor, quien dijo que este era bastante misterioso, y estoy de acuerdo. Creo que esta prueba es bastante bella y mucho más simple que las otras pruebas. Aquí están mis preguntas:
Cómo? ¿Cómo funciona? No me refiero a la pregunta de cómo podemos ir de un paso a otro. Me refiero a pedir lo que hace a este trabajo intrínsecamente. En particular, estoy molesta por esta construido círculo y su radio. La siguiente imagen es lo que tengo en mente:
Para esta curva $\gamma$, la elección de dos tipos de pares de líneas $L$, $L'$ y $K$, $K'$ nos da dos círculos de diferentes radios. Además, tenga en cuenta que parece que el área del círculo más pequeño es menor que el área de trazado por $\gamma$, que no es el caso para el círculo más grande. Supongo que mi pregunta puede reformularse como: ¿por qué el $r$s' por arte de magia se quedan fuera de la ecuación en el último paso? Yo no estoy en busca de una respuesta del tipo "porque la matemática funciona de esa manera," más bien, algunos geométricas insight/explicación.
Una observación que he pensado es que en caso de igualdad de $4 \pi = l^2$, es decir, cuando $\gamma$ es un círculo, cualquier círculo dado por nuestra construcción siempre han equall radio, en el hecho de que el radio del círculo $\gamma$.
Desde que me llevó a esta pregunta: Supongamos que tomamos $n$ pares de líneas paralelas (donde dos pares de pares no son mutuamente paralelos), y la construcción de los círculos para cada uno. Ahora, como $n \rightarrow \infty$, ¿qué pasará con el radio medio de estos círculos? ¿Qué hará un círculo con este radio de representar?
EDITAR: He encontrado un ejemplo en el que esta última cuestión resulta ser bastante interesante. Sin embargo, ¿qué pasaría si suponemos que la curva se convexo así?
No sé cómo explorar esta última pregunta con mi conocimiento en absoluto.
Por último, quiero preguntar si alguien sabe como esta la prueba llegó a ser; ¿cuál es la motivación oculta.
Gracias.
