Función característica y convergencia en la distribución

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio: Sea $X_1^{(n)},\ldots, X_n^{(n)}$ sea iid r.v. tal que $P(X_i^{(n)}=1)=P(X_i^{(n)}=-1)=\frac{1}{2n}, (P(X_i^{(n)}=0)=1-\frac1n$

Dejemos que $S_n = \sum_{i=1}^n X_i^{(n)}$ , demuestran que $S_n$ converge en la Distribución y calcular su límite.

Estoy tratando de utilizar las funciones características. Tengo que $$ E(e^{itX_1^{(n)}})= \frac{e^{it}}{2n}+\frac{e^{-it}}{2n}+1-\frac1n$$ y $$ E(e^{itS_n}) = \left(E\left(e^{itX_1^{(n)}}\right)\right)^n = \bigg(1 + \frac{e^{it}+e^{-it}-2}{2n}\bigg)^n \to \exp\bigg(\frac{e^{it}+e^{-it}-2}{2}\bigg)$$ como $n$ se acerca a $+\infty$ . Incluso reescribiendo la función limitadora como $\exp(\cos(t)-1)$ No tengo ni idea de cómo calcular la variable aleatoria límite. ¿Cómo puedo calcular la integral correspondiente? $$ \int_\mathbb{R} e^{-itx+\cos(t)-1} dt$$

¿He hecho algo mal?

Answer 1

No veo nada malo en los cálculos.

En términos de distribuciones de probabilidad conocidas, el límite es la diferencia de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson y parámetro $1/2$ .