¿Cómo se define el término "corriente" en la QFT?

Question

Leyendo artículos y libros sobre QFT, el término actual se menciona a menudo con ejemplos como la corriente de quarks en QCD o la corriente electromagnética en QED. Me preguntaba si existe una definición precisa de lo que es una corriente en la QFT.

• ¿Existe una definición matemática de lo que hace que un operador sea una corriente?
• Hablando en términos de diagramas de Feynman, ¿qué caracteriza a una corriente?

Answer 1

Permítanme darles la definición más general que vale para las QFTs completamente genéricas (incluyendo las que no tienen una formulación lagrangiana). El caso específico de la QED o QCD se describe en la respuesta de @CosmasZachos.

Un operador actual es cualquier operador de espín-1 que satisface la siguiente identidad de Ward $$ \nabla^\mu \langle J_\mu(x) O_1(x_1) \cdots O_n(x_n) \rangle = 0 \quad \text{if} \quad x\neq x_i. $$ donde $\langle\cdots\rangle$ representa la función de correlación ordenada en el tiempo y $O_i(x_i)$ son local operadores (es decir, se conmutan si están separados en el espacio) en la QFT.

Todos los operadores de corriente del tipo anterior pueden asociarse a una simetría construyendo el operador de carga $$ Q[\Sigma] = \int_\Sigma n^\mu J_\mu. $$ donde $\Sigma$ es cualquier $(d-1)$ superficie en nuestro espaciotiempo (es decir $\partial \Sigma = 0$ ). La identidad de Ward para la corriente implica que la carga $Q[\Sigma]$ hace no cambiar bajo deformaciones de $\Sigma$ (siempre que ninguno de los puntos $x_i$ se cruzan bajo la deformación).

Tenga en cuenta que el operador actual es no único. Dado cualquier conservador $J_\mu$ podemos definir una nueva corriente $$ J'_\mu = J_\mu + \nabla^\nu K_{\mu\nu}\quad \text{where} \quad K_{\mu\nu} = - K_{\nu\mu}. $$ Sin embargo, esta nueva corriente no corresponde a una nueva simetría ya que la carga sigue siendo la misma $$ Q'[\Sigma] = \int_\Sigma n^\mu J'_\mu = Q[\Sigma] + \int_{\partial\Sigma} dS^{\mu\nu} K_{\mu\nu} = Q[\Sigma]. $$ El teorema de Noether es la afirmación inversa - que cualquier la simetría global continua implica la existencia de un operador de corriente $J_\mu$ .

Si la QFT puede ser descrita por una acción $S[\phi]$ entonces la corriente puede definirse como $$ J_\mu(x) = \frac{\delta S[\phi]}{ \delta \nabla^\mu \phi(x) } \delta_s \phi $$ donde $\delta_s \phi$ es la transformación de simetría del campo $\phi$ . Todas las corrientes en QED y QCD pueden ser derivadas por la fórmula anterior.

Answer 2

Genéricamente, es el coeficiente del término lineal en el campo gauge en una acción invariante de gauge, por lo que es la "materia" a la que se enfrenta un propagador de campo gauge en un diagrama de Feynman. Clásicamente, corresponde a una corriente de Noether conservada con invariancia global asociada a una carga conservada.

En la teoría gauge, es el eje de la invariancia gauge y la terminación de la derivada covariante. Los textos de QFT se centran en describir la conversión de simetría global a local de forma elegante, pero dejan implícita la parte obvia. Ilustraré las cosas obvias con U(1), QED, y un campo escalar complejo (ya que contiene un ingrediente extra (gaviotas) que no existe en el caso espinor), y luego sólo me extenderé superficialmente al caso no abeliano, diferenciándome sólo en los aspectos teóricos de grupo, cubiertos ampliamente en los textos. Puede que sea arrogante con algunos coeficientes.

$$ {\cal L}_{matter}= \tfrac{1}{2} \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi + ... , $$ donde la elipsis ... indica términos de masa e interacción sin derivadas, importantes en las ecuaciones de movimiento E-L, pero irrelevantes para la invariancia gauge que vamos a discutir. Esta acción es invariante bajo $\phi \mapsto e^{i\theta} \phi$ para un ángulo constante pero no para el espacio-tiempo dependiente (x) . La corriente de Noether de la simetría global es $$ J^\mu_N= \tfrac{i}{2} (\phi \partial^\mu \phi^* -\phi^* \partial^\mu \phi ), \tag{1} $$ conservado en la cáscara es decir, mediante el uso de las ecuaciones de movimiento E-L (que también implican los términos no derivativos omitidos).

Sin embargo, para los locales (x) , hay piezas extra no canceladas en la transformación, $$ \delta {\cal L}_{matter}=\partial^\mu \theta ~ J^N_\mu + \partial_\mu \theta \partial^\mu\theta ~ \phi^* \phi. \tag{2} $$

Aun así, se pueden anular añadiendo primero una acción de calibración $$ {\cal L}_{gauge}= -\tfrac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, $$ donde $A_\mu\mapsto A_\mu + \tfrac{1}{e} \partial_\mu \theta$ lo que la hace invariante localmente, y también los términos de acoplamiento que cancelan (2), $$ {\cal L}_{int}= -e A^\mu j^N_\mu + \frac{e^2}{2} A_\mu A^\mu \phi^* \phi\\ =-\frac {i e}{2} A^\mu \left ( \phi (\partial_\mu +ieA_\mu )\phi^* -\phi^* (\partial_\mu -ieA_\mu )\phi \right ) , \tag{3} $$ renderizado
$$ {\cal L}_{matter} + {\cal L}_{int} = \tfrac{1}{2} \left((\partial_\mu -ieA_\mu) \phi\right )^* (\partial^\mu -ieA^\mu) \phi + ... , $$ por separado invariante gauge. (A fortiori, es globalmente invariante U(1), sin que el campo gauge se transforme aquí. (En el caso no abeliano, sólo necesita transformarse como un campo de materia).

Ahora bien, ten en cuenta $J^N_\mu$ no es invariante gauge - necesita el término bilineal ("gaviota") en (3) para cancelar su variación gauge. La gente suele llamarla corriente de simetría y, como has visto, la forma más fácil de aislarla es buscar el coeficiente de $\partial_\mu \theta$ en una variación de calibre de la acción.

Diagramáticamente, es en lo que termina el propagador del bosón gauge, acoplándose a y * . El término gaviota tiene dos fotones que emanan de él, como las alas de una gaviota.

Como se ve en la segunda línea de (3), se puede combinar todo en una corriente invariante gauge que involucra también al campo gauge ( $J_\mu^N-eA_\mu \phi\phi^*$ la corriente de Noether de la acción gauge completa). Se puede comprobar que, ahora, con la acción gauge completa, es este corriente invariante de gauge que se conserva en la cáscara, mientras que la $J^N_\mu$ no lo es, más por sí mismo. El lagrangiano ha cambiado.

Además, hay que tener en cuenta que la corriente no tiene por qué ser bilineal en los campos de materia; para las interacciones de fantasía como $${\cal L}_{matter}= \tfrac{f(\phi^* \phi)}{2} \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi $$ tendrías, en cambio $$ J^\mu_N= \tfrac{if(\phi^* \phi)}{2} (\phi \partial^\mu \phi^* -\phi^* \partial^\mu \phi ), $$ para todo tipo de funciones barrocas f(|| 2 ) . Para los sistemas SSB, la corriente sería proporcional a la gradiente del bosón de Goldstone y términos de orden superior menos significativos en los campos.

• La extensión al caso no abeliano es sencilla, y básicamente es una prueba de su apreciación de la notación teórica de grupos, que implica matrices generadoras de grupos $T_a$ , las transformaciones de grupo como $U=e^{i\theta ^aT_a}$ , las trazas en sus espacios, y las derivadas covariantes de grupo, $$ J^a_\mu = i (\partial_\mu \Phi^\dagger T^a \Phi- \Phi^\dagger T^a \partial_\mu \Phi ) , $$ $${\mathbb D}_\mu =1\!\! 1 \partial_\mu -ig {\mathbb A}_\mu \equiv 1\!\! 1 \partial_\mu -ig T_aA^a_\mu , \\ {\mathbb D}_\mu \mapsto U {\mathbb D}_\mu U^{-1} , ~~\leadsto \\ {\mathbb A}_\mu \mapsto U {\mathbb A}_\mu U^{-1} -\frac{i}{g} (\partial_\mu U )U^{-1} $$ la órbita gauge, como se resume ampliamente en los textos. Las corrientes de Noether tendrán que extenderse ahora a la covariante gauge, en lugar de las invariantes gauge anteriores.