Dejemos que $X$ sea una variedad compleja compacta y conectada. Denoto por $H$ el espacio $\ker (\partial \colon H^{1,0}(X) \to H^{2,0}(X))$ . Ahora quiero demostrar que existe una secuencia exacta $$0 \to H \stackrel{\iota}\to H_{dR}^1(X,\mathbb C) \stackrel{\pi^{0,1}}\to H^{0,1}(X) \stackrel{\partial}\to H^{1,1}(X).$$ Asumo que todos los grupos de cohomología se toman con respecto a $\bar{\partial}$ aunque esto no está escrito explícitamente en el texto. Parece que puedo demostrar que $\iota$ es una inclusión, por lo que su inyectividad debería estar bien.
Me falta algo al probar $\ker \pi^{0,1} \subset \mathrm{Im}\iota$ y $\ker \partial \subset \mathrm{Im}\iota$ . Tomemos el primero como ejemplo. El mapa $\pi^{0,1}$ mapas $[\alpha] \in H_{dR}^1(X,\mathbb C)$ a $[\alpha^{0,1}]$ es decir, la clase en $H^{0,1}$ de la $(0,1)$ -parte de $\alpha$ . Así que si $\pi^{0,1}[\alpha] = 0$ entonces $\alpha$ debe ser $\bar{\partial}$ -exacta, por lo que debe existir una función compleja $g$ en $X$ tal que $\alpha^{0,1} = \bar{\partial}g$ . Ahora $\alpha$ también es $d$ -cerrado por suposición, por lo que \begin{align*} 0 & = \partial \alpha + \bar{\partial}\alpha \\ & = \partial \alpha^{1,0} + \partial \alpha^{0,1} + \bar{\partial} \alpha^{1,0} + \bar{\partial}\alpha^{0,1} \\ & = \partial \alpha^{1,0} + \partial \alpha^{0,1} + \bar{\partial} \alpha^{1,0}. \end{align*} En particular, $\partial \alpha^{1,0} = 0$ y $ \partial \alpha^{0,1} = -\bar{\partial}\alpha^{1,0}$ . Aquí estoy atascado. La idea era tomar como preimagen de $\alpha$ su $(1,0)$ -pero no puedo demostrar que esté en la misma clase de equivalencia de $\alpha$ . Lo único que tengo por ahora es que su $\partial$ -derivada es $\bar{\partial}$ -cerrado. Tal vez haya un argumento local que ayude, pero no estoy seguro de cómo utilizarlo. ¿Hay alguna manera de arreglar esto?
