Un préstamo debe ser reembolsado con cuotas niveladas pagaderas al final de cada semestre para $3$ y $\frac{1}{2}$ años, a un tipo de interés nominal de $8\%$ convertido semestralmente. Después de la $4^{\rm th}$ pago, el saldo pendiente del préstamo es $\$ 5000$. Encuentra el importe inicial del préstamo.
¿Puede alguien explicarme cómo puedo hacer esto?
Dejemos que $i=0.08/2=0.04$ sea el interés semestral, $n=7$ sea el número de períodos de capitalización, y $k=4$ sea el número de pagos semestrales realizados. Se puede demostrar que el principal $P$ del préstamo cuando el saldo pendiente del préstamo es $Q=\$ 5000$ es
$$P = \frac{1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-(n-k)}} Q$$
Con los números anteriores, el principal del préstamo es $P \approx \$ 10,814.20$.
Una forma de mostrar esta relación es entender que, si $m$ es el pago semestral del préstamo, entonces el saldo pendiente del préstamo viene dado por
$$P(1+i)^k - m (1+i)^{k-1}-m (1+i)^{k-2}-\ldots-m(1+i)-m = Q$$
El pago semestral viene dado por
$$m=P \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$$
Suma la serie geométrica en la primera ecuación y sustituye el pago semestral en la segunda ecuación y se obtiene el resultado indicado.
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Sólo quería añadir una nota relativa a lo que afirma @Ross, que puede considerar esto simplemente como la emisión de un nuevo préstamo. De hecho, esto es bastante correcto, y se puede ver casi al instante de la ecuación anterior, si se reescribe como
$$P\frac{ i}{1-(1+i)^{-n}} = Q \frac{i}{1-(1+i)^{-(n-k)}}$$
Aquí, he multiplicado ambos lados por $i$ . Lo que dice esto es que la cuota mensual del nuevo préstamo teórico con el saldo pendiente y el número de pagos restantes es igual a la cuota mensual original. El resultado es el siguiente.
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