Único logaritmo complejo continuo de una función en ninguna parte cero

Question

Considere una función $\phi : \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$ que es continua, satisface $\phi(0)=1$ y no es cero en ningún sitio.

Estoy leyendo un libro en el que se hace la siguiente afirmación:

Fijar $z \in \mathbb{R}^d$ . Dejemos que $\log$ denotan la función logarítmica compleja (multivaluada). Entonces hay una única rama $h_z(t), 0 \leq t \leq 1$ de $\log \phi(tz), 0 \leq t \leq 1$ con la propiedad de que $h_z(0) = 0$ y tal que $h_z(t)$ es continua en $t$ .

No entiendo por qué existe una rama continua (¿por qué el camino $t \mapsto \phi(tz), t \in [0,1]$ no se enrolla alrededor del origen?). Si este camino no gira alrededor del origen, ¿no habrá infinitas opciones posibles de rayos que salgan del origen para usarlos como cortes de rama?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Olvídate de los cortes de rama y trabaja con espacios de cobertura. Considera el mapa $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^*$ dado por $f(z)=\exp(z)$ . Este es el espacio de cobertura universal para $\mathbb{C}^*$ .

Consideremos ahora la trayectoria continua $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}^*$ dado por $\gamma(t)=\phi(tz)$ para algunos fijos $z\in\mathbb{R}^d$ .

Por la propiedad de elevación del recubrimiento universal, dado $p\in\mathbb{C}^*$ tal que $\exp(p)=\gamma(0)=1$ existe una única elevación continua $\widetilde{\gamma}_p:[0,1]\to\mathbb{C}$ tal que $\exp(\widetilde{\gamma}_p(t))=\gamma(t)$ para todos $t\in[0,1]$ y $\widetilde{\gamma}_p(0)=p$ .

Si toma $p=0\in\mathbb{C}$ , se entiende la tesis.

N.B. El número de bobinado debe tenerse en cuenta si tiene un bucle ( $\gamma(0)=\gamma(1)$ ) y quieres levantarlo como un bucle. Aquí lo único que se pide es que el levantamiento sea continuo y que comience desde $0$ así que lo ves como un arco.

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Enfoque alternativo

Nota: Considere la $1$ -forma $\omega=\dfrac{dz}{z}$ . Entonces, $\log(w)$ , para $w\in \mathbb{C}^*$ se puede escribir como $$\int_\gamma\omega$$ para un adecuado $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}^*$ tal que $\gamma(0)=1$ y $\gamma(1)=w$ . Dependiendo del número de veces que $\gamma$ termina alrededor de $0$ se obtendrán los diferentes valores de $\log(w)$ cambiando por un múltiplo entero de $2\pi i$ (el múltiplo exacto viene dado por el número de bobinado).

Ahora, pon $g(t)dt=\gamma^*\omega$ es decir $$g(t)=\dfrac{\langle z, \nabla \phi(tz)\rangle}{\phi(tz)}\;.$$ Obtenemos una función $g:[0,1]\to\mathbb{C}$ (como $\phi(tz)\neq 0$ por cada $t$ y $z$ ). Esta función es continua en $[0,1]$ y por tanto integrable.

Ahora sólo toma un primitivo $G$ de $g$ en $[0,1]$ tal que $G(0)=0$ . $G:[0,1]\to\mathbb{C}$ por la Observación anterior, es el "logaritmo" de $\gamma$ .