Olvídate de los cortes de rama y trabaja con espacios de cobertura. Considera el mapa $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^*$ dado por $f(z)=\exp(z)$ . Este es el espacio de cobertura universal para $\mathbb{C}^*$ .
Consideremos ahora la trayectoria continua $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}^*$ dado por $\gamma(t)=\phi(tz)$ para algunos fijos $z\in\mathbb{R}^d$ .
Por la propiedad de elevación del recubrimiento universal, dado $p\in\mathbb{C}^*$ tal que $\exp(p)=\gamma(0)=1$ existe una única elevación continua $\widetilde{\gamma}_p:[0,1]\to\mathbb{C}$ tal que $\exp(\widetilde{\gamma}_p(t))=\gamma(t)$ para todos $t\in[0,1]$ y $\widetilde{\gamma}_p(0)=p$ .
Si toma $p=0\in\mathbb{C}$ , se entiende la tesis.
N.B. El número de bobinado debe tenerse en cuenta si tiene un bucle ( $\gamma(0)=\gamma(1)$ ) y quieres levantarlo como un bucle. Aquí lo único que se pide es que el levantamiento sea continuo y que comience desde $0$ así que lo ves como un arco.
Enfoque alternativo
Nota: Considere la $1$ -forma $\omega=\dfrac{dz}{z}$ . Entonces, $\log(w)$ , para $w\in \mathbb{C}^*$ se puede escribir como $$\int_\gamma\omega$$ para un adecuado $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}^*$ tal que $\gamma(0)=1$ y $\gamma(1)=w$ . Dependiendo del número de veces que $\gamma$ termina alrededor de $0$ se obtendrán los diferentes valores de $\log(w)$ cambiando por un múltiplo entero de $2\pi i$ (el múltiplo exacto viene dado por el número de bobinado).
Ahora, pon $g(t)dt=\gamma^*\omega$ es decir $$g(t)=\dfrac{\langle z, \nabla \phi(tz)\rangle}{\phi(tz)}\;.$$ Obtenemos una función $g:[0,1]\to\mathbb{C}$ (como $\phi(tz)\neq 0$ por cada $t$ y $z$ ). Esta función es continua en $[0,1]$ y por tanto integrable.
Ahora sólo toma un primitivo $G$ de $g$ en $[0,1]$ tal que $G(0)=0$ . $G:[0,1]\to\mathbb{C}$ por la Observación anterior, es el "logaritmo" de $\gamma$ .
