Agradecería que alguien me ayudara con el siguiente problema:
P: ¿Cómo probar (mediante inducción matemática)( $n=2,3,4,\cdots$ )
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+ \frac{1}{n!}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Rasmir
Puntos
26
Invocamos la inducción fuerte:
$\textbf{I:}$ Queremos demostrar que la afirmación es cierta para $n=2$ . Esto se puede hacer con un simple cálculo de esta desigualdad: $\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 < \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}\right)$ .
$\textbf{II:}$ Supongamos que la afirmación anterior es cierta para $n \in [2,k-1]$ queremos demostrar que la afirmación es cierta para $n=k$ . A partir de nuestra hipótesis sabemos que $\left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{k-1} < \left(1 + \frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{(1-k)!}\right)$ . Multiplicando ambos lados por $1+\frac{1}{k-1}$ tenemos la cadena de desigualdades $$ \left(1+\frac{1}{k}\right)^k < \left(1+\frac{1}{k-1}\right)^{k} < \left(1+\frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!}\right) \times \left(1+\frac{1}{k-1}\right). $$ Podemos expandir el lado derecho de esta desigualdad para obtener $$ 1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{(k-1)!} + \frac{1}{k-1} + \cdots + \frac{1}{(k-1)!(k-1)} = \sum_{i=1}^{k-1}\frac{k}{i!(k-1)}. $$ Por último, podemos utilizar las pruebas de convergencia habituales para demostrar que $$ \sum_{i=1}^{k-1}\frac{k}{i!(k-1)} < 1+ \sum_{1}^{k-1} \frac{1}{i!} + \frac{1}{k!}. $$
$\textbf{III:}$ Así, por el principio de inducción fuerte, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{1!} + \cdots + \frac{1}{n!}\right)$ para todos $n = 2, 3, \ldots \hspace{25pt} \square$
