¿Cuál es el significado de la transpuesta?

Question

No entiendo la motivación de la transposición (o mejor aún, ni siquiera he visto uno). Se siente como algo sacado de un sombrero. Pensando en que lo hace parecer como un producto de ser capaz de escribir una matriz utilizando cualquiera de las columnas o de las filas de 'primera'. E. g., cuando nos 'reflejan abajo de la diagonal" realmente estamos manteniendo toda la información de nuestro viejo de la matriz, cambiar de filas a columnas.

Esto se parece mucho a cómo $f \text{ from} \{1,2,...,m-1,m\} \times \{1,2,...,n\} \text{ to some field } \mathbf{F}$ $m \times n$ matriz,
● si se cambia el orden de los productos, por lo que se podría definir: $g \text{ is a map from } \{1,2,...,n\} \times \{1,2,...,m - 1, m\} \text{ to } \mathbf{F}$
● pero permitir $f(i,j) = g(j,i)$.
A continuación, hemos de conseguir de alguna manera "natural" mapa del espacio de $m \times n$ matrices a $n \times m$ matrices.

Es que lo que la transposición es - un 'natural' mapa de los espacios? Lo que no me llegan a decir por los naturales de aquí (pregunta seria, yo no estoy misterioso)? Si tuviera que adivinar, se trata de un lineal bijective mapa? Es que lo suficientemente cerca?

Alejarse de esto, hace la transposición tiene alguna aplicación útil en la geometría Euclidiana (otros que ortogonal de matrices se define en términos de transpone?).

Answer 1

La transposición está estrechamente relacionada con la de los dos espacios. Una transformación lineal $T:V\to W$ da lugar a una transformación lineal $T^*:W^*\to V^*$ de los dos espacios. La matriz correspondiente es la transpuesta de la original, cuando se considere la posibilidad de doble bases.

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_space#Transpose_of_a_linear_map.

Answer 2

La transposición puede ser pensado como una generalización, o tal vez de linealización, de la transpuesta de una relación binaria (definido por $x R^T y \Leftrightarrow y R x$; por ejemplo, "es el padre de" es la transpuesta de "el hijo de"). De hecho, es posible representar una relación entre dos conjuntos de $A, B$ $|A|$a$|B|$ matriz de $0$s y $1$s, y entonces la transpuesta de la matriz es la matriz de la transposición de la relación. Si uno piensa de una transformación lineal entre el producto interior espacios como "una relación lineal," entonces su transpuesta es la "transposición de relación lineal" (que siempre existe, a diferencia de la inversa).

Answer 3

En $\mathbb{R}^n$ con el estándar de producto interior, $\langle x,y\rangle=\sum_i x_iy_i$, y para $A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ lineal, tenemos $\langle Ax,y\rangle=\langle x,A^ty\rangle$. por ejemplo, una transformación ortogonal $A$ preserva el interior del producto, de modo que $\langle x,y\rangle=\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,A^tAy\rangle$ y nos encontramos con que $A^tA=I$.