Encuentra el volumen delimitado por los paraboloides elípticos dados por $z=x^2 + 9 y^2$ y $z= 18- x^2 - 9 y^2$ .
Primero encontré la región de intersección, luego obtuve $x^2+ 9 y^2 =1$ . Creo que esta será el área de integración, ahora cuál será el integrando. Por favor, ayúdame.
Probablemente tengas algo parecido a esto 
donde el volumen requerido es el volumen oscuro dentro de las dos parábolas. Por supuesto, hay muchas formas de encontrar ese volumen; yo me ceñiré a la rebanada método: esencialmente se fija la tercera variable $z$ y calcular el área de la región deseada que interseca el plano $z = z_0$ , entonces se resume todas estas áreas. Obsérvese que si se interseca la región con un plano paralelo a la $XY$ plano se obtiene una elipse, con semieje mayor $\sqrt{\frac{18-z}{9}}$ y el semieje menor $\sqrt{18-z}$ si $z \ge 9$ (es decir, cuando las parábolas se cruzan entre sí), y el semieje mayor $\sqrt{z}$ y el semieje menor $\sqrt{\frac{z}{9}}$ si $z \ge 9$ cuando $z \ge 9$ . Por tanto, el área de la intersección entre la región y el plano a la altura $z$ es $$ \begin{cases} \sqrt{\frac{18-z}{9}} \cdot \sqrt{18-z} \cdot \pi = \frac{18 - z}{3} \pi \iff z \ge 9\\ \sqrt{\frac{z}{9}} \cdot \sqrt{z} \cdot \pi= \frac{z}{3} pi \iff z \le 9 \end{cases} $$ Así que el volumen deseado es $$\int \limits_0 ^{9} \frac{z}{3} \pi dz + \int \limits_9 ^{18} \frac{18 - z}{3} \pi dz = \pi \left(\frac13 \int \limits_0 ^9 z dz + \int \limits_9 ^{18} 6 dz - \frac13 \int \limits_9 ^{18} zdz \right) = \pi \left(\frac13 \frac{z^2}{2} \big|_0 ^9 + 6 \big|_9 ^{18} - \frac13 \frac{z^2}{2} \big|_9 ^{18} \right) = 27\pi$$
Te equivocas en cuanto a la región de intersección. Al igualar las dos expresiones para $z$ da
$$x^2+9y^2=18-(x^2+9y^2)$$ $$2(x^2+9y^2)=18$$ $$x^2+9y^2=9$$
y por lo tanto aquí $z=9$ .
El volumen de su intersección puede dividirse en dos partes: $0\le z\le 9$ donde las restricciones de $x$ y $y$ son $x^2+9y^2\le z$ y $9\le z\le 18$ donde las restricciones de $x$ y $y$ son $18-(x^2+9y^2)\ge z$ . Puedes ver que esas dos partes tienen formas y tamaños iguales y, por lo tanto, volúmenes iguales, pero eso no es necesario para usarlo.
Así que para cada región, para cada $z_0$ encuentre el área de la sección transversal de su región con el plano $z=z_0$ que es una elipse, por lo que el área es fácil de encontrar y es una expresión en $z_0$ . A continuación, integre esa área sobre $z$ entre los límites que he dado. O si quieres, utiliza una integral triple para cada región. También es posible hacer una integral doble sobre el área $x^2+9y^2=9$ .
Ya que lo pregunta, le daré más detalles. Prefiero el enfoque de una sola integral, así que lo mostraré aquí.
Para la región inferior $x^2+9y^2\le z$ para $0\le z\le 9$ podemos utilizar nuestro conocimiento de las secciones cónicas para ver que para una $z$ que es una elipse con eje mayor $a=\sqrt z$ sobre el $x$ -coordenadas y eje menor $b=\frac{\sqrt z}3$ sobre el $y$ -coordenada. Podemos utilizar la fórmula del área de una elipse
$$A=\pi ab=\pi(\sqrt z)\left(\frac{\sqrt z}3\right)=\frac{\pi z}3$$
Ahora encontramos el volumen de esa región con
$$V_1=\int_0^9 \frac{\pi z}3\,dz$$
Para la región superior $x^2+9y^2\le 18-z$ para $9\le z\le 18$ podemos utilizar nuestro conocimiento de las secciones cónicas para ver que para una $z$ que es una elipse con eje mayor $a=\sqrt{18-z}$ sobre el $x$ -coordenadas y eje menor $b=\frac{\sqrt{18-z}}3$ sobre el $y$ -coordenadas. Podemos utilizar la fórmula del área de una elipse
$$A=\pi ab=\pi(\sqrt{18-z})\left(\frac{\sqrt{18-z}}3\right)=\frac {\pi(18-z)}3$$
Ahora encontramos el volumen de esa región con
$$V_2=\int_9^{18} \frac{\pi(18-z)}3\,dz$$
Su volumen total es entonces $V_1+V_2$ .
Me gusta este enfoque, ya que es sólo un par de integrales simples, cada una de las cuales es muy fácil. Tu pregunta parece asumir el enfoque de la integral doble. Hazme saber si esos son los límites que realmente quieres.
Aquí está la doble integral, si realmente lo quieres.
Hemos visto que la mayor área posible para un determinado $z$ es $x^2+9y^2\le 9$ . Obtenemos de ello
$$-1\le y\le 1, \qquad -3\sqrt{1-y^2}\le x\le 3\sqrt{1-y^2}$$
y los límites de $z$ de sus dos condiciones originales son
$$x^2+9y^2\le z\le 18-x^2-9y^2$$
Por tanto, la integral doble adecuada es
$$\int_{-1}^1 \int_{-3\sqrt{1-y^2}}^{3\sqrt{1-y^2}} [(18-x^2-9y^2)-(x^2+9y^2)]\,dx\,dy$$
¡Buena suerte con eso!
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