Obsérvese que la suma de la izquierda es $\displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right)$
Del mismo modo, la suma de la derecha es $\displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right).$
Son casi iguales. La diferencia es que el rectángulo del principio de la suma de la izquierda se "sustituye" por el rectángulo del final de la suma de la derecha.
Así que tenemos la diferencia de áreas es $\displaystyle L_n-R_n=\frac{b-a}{n}\left(f(a)-f(b)\right)$ .
Necesitamos que $|L_n-R_n| \leq 0.1$ . Tenemos que $\displaystyle f(a)-f(b)=\frac{1}{6}$ y que $b-a=5$ .
Enchufando a la derecha nos da $\displaystyle \frac{5}{6}\left(\frac{1}{n}\right) \leq \frac{1}{10}$ . (Dejamos de lado el valor absoluto porque $n$ es positivo).
Ahora aislamos $n$ para conseguir $\displaystyle \frac{1}{n} \leq \frac{3}{25}$ .
Si se invierte la desigualdad se obtiene $\displaystyle n \geq \frac{25}{3}$ .
Como no podemos tener medio rectángulo, decimos que $\boxed{n \geq 9}$ .
$L_n = \displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right)=\displaystyle \frac{b-a}{n}f(a) + \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right)$
$R_n = \displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right)=\displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f\left(a+\displaystyle \frac{k}{n}(b-a)\right)+\frac{b-a}{n}f(b)$
Así es como $\displaystyle L_n-R_n = \frac{b-a}{n}(f(a)-f(b))$ se produce.
