Dejemos que $X$ sea una curva proyectiva suave. ¿Cómo construyo una gavilla coherente $\mathcal{F}$ en $\text{Pic}^n X$ (es decir, el componente del esquema Picard de $X$ parametrizando haces de líneas de grado $n$ ) tal que $$\mathbb{P}(\mathcal{F}) := \text{Proj}\,\text{Sym}(\mathcal{F})$$ es igual a la $n$ ª potencia simétrica $\text{Sym}^nX$ ?
(Aquí, "igual" significa "canónicamente isomorfo como esquema sobre $\text{Pic}^nX$ "; observe que $\text{Sym}^nX$ está dotado de un mapa canónico a $\text{Pic}^nX$ porque $X$ es una curva suave).
Lo ideal es que la construcción de $\mathcal{F}$ debe ser lo más canónico posible.
