Me cuesta entender la diferencia entre la medida de Borel y la medida de Lebesgue. ¿Cuáles son las diferencias exactas? ¿Puede alguien explicarlo con un ejemplo?
Respuestas
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No todo subconjunto de un conjunto de medida de Borel $0$ es medible por Borel. La medida de Lebesgue se obtiene ampliando primero la $\sigma$ -álgebra de conjuntos de Borel para incluir todos los subconjuntos del conjunto de medida de Borel $0$ (que por supuesto obliga a añadir más conjuntos, pero el más pequeño $\sigma$ -que contenga el álgebra de Borel $\sigma$ -álgebra y todos los subconjuntos mencionados es bastante fácil de describir directamente (ejercicio si se quiere)).
Ahora, en esa mayor $\sigma$ -uno puede (ejercicio de nuevo) demostrar fácilmente que $\mu$ (medida de Borel) se extiende de forma única. Esta extensión es la medida de Lebesgue.
Todo esto es un caso especial de lo que se llama completar una medida, de modo que la medida de Lebesgue es la terminación de la medida de Borel. Los detalles son tan sencillos como para el caso especial.
nyenyec
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la medida de borel se define en el álgebra sigma más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos mientras que la medida de lebesgue es mucho más general pero coincide con la de borel,cuando un conjunto es medible por borel.hay ejemplos (no tan fáciles) de conjuntos medibles por lebesgue no borel
