¿Intercambio del orden de los límites en combinatoria?

Question

Parte $A$

Sea una serie de potencias $ \sum_{r=1}^\infty x^{a_r}$

Ahora, nos interesa el cuadrado de la serie de potencias con la condición:

$$ \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty x^{a_m + a_n} = \sum_{r=3}^\infty C_r x^{2r} $$

donde $C_r \neq 0$ y queremos que el límite se acerque al infinito lo más lentamente posible:

$$ \sum_{r=1}^\infty x^{a_r} \sim G(x,a_1,a_2,\dots)$$

$x \to 1^-$

Parte $B$ :

Observamos que el número mínimo de términos necesarios para construir todos los números pares menores que $n$ es $O(\sqrt{n})$ . Esto también es cierto cuando $n = \infty$ $(?)$ . Por lo tanto, construimos un ploynomio tal que:

$$ (\sum_{r=1}^n x^{a_r})^2 = \sum_{r=3}^{2n} C_r x^{2r}$$

Tomando $\lim_{x \to 1^-}$

$$ \lim_{x \to 1^-} \sum_{r=1}^n x^{a_r} = O(\sqrt{n}) $$

Tomando $ n \to \infty $

$$ \lim_{x \to 1^-} \sum_{r=1}^n x^{a_r} = O(\sqrt{n}) $$

Observamos $n \to \infty$

$$ \lim_{x \to 1^-} \sum_{r=1}^n x^{a_r} = O(\sqrt{n}) < \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to 1^-} \sum_{r=1}^n x^{p_r} \sim \frac{n}{\ln(n)}$$

Parte $C$ :

Tras un examen más detallado de la parte $B$ no importa lo grande que sea $n$ puede llegar a ser $n < \infty$ . Por lo tanto, nunca incluirá todo los números pares y tomando $n \to \infty$ (como ha señalado acertadamente Thomas en los comentarios). La forma correcta de proceder sería:

$$ \lim_{x \to 1^-} \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^n x^{a_r} $$

Pregunta

¿Puede alguien construir un ejemplo explícito de $a_n$

donde,

$$ (\sum_{r=1}^n x^{a_r})^2 = \sum_{r=3}^{2n} C_r x^{2r} $$

y $C_r \neq 0$

Y su límite se acerca $\infty$ mucho más lento que

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{r=1}^n x^{a_r} < \lim_{n \to \infty} \sum_{r=2}^n x^{p_r} \sim \frac{1}{(x-1)\ln(1-x)}$$

donde $x \to 1^-$

donde $p_r$ es el $r$ 'th prime'.

Nota: Si la conjetura de Goldbach es cierta entonces:

$$ (\sum_{r=2}^n x^{p_r})^2 = \sum_{r=3}^\infty C_r x^{2r} $$

P.D: Ya he intentado preguntar esto antes, pero he recibido estimaciones en $f(n)$ y no $f(x)$ . De ahí que haya decidido incluir la parte B y la parte C

Answer 1

La construcción de Erdos en http://ftp.math-inst.hu/~p_erdos/1956-17.pdf da una expectativa de $\sum_{n\in S} x^s = \sum_{n \ge 1} C \sqrt{\frac{\log n}{n}}x^n$ que, si no me equivoco, es asintótica a $$O\big(\sqrt{\frac{|\log (1-x)|}{1-x}}\big)$$ como $x\to 1^-$ . Evidentemente, esto se acerca bastante a lo óptimo, sin embargo es una construcción probabilística, y usted pidió una secuencia explícita.

Una secuencia explícita viene dada por el conjunto

$$S = \{n \ge 0: \text{the base-$ 3 $ representation of $ n $ consists of digits $ 0,1 $}\}.$$ Todo número no negativo, par o impar, puede representarse como una suma de dos elementos de $S$ (se podría restringir sólo a los valores Impares, aplicando la transformación $x\mapsto 2x+1$ , realmente no es importante).

El número de elementos de $S$ hasta $3^k$ es $2^k$ por lo que el número de elementos de $S$ hasta $n$ es $\asymp n^{\log 2/\log 3} \approx n^{0.631}$ . Obsérvese que se trata de un orden de magnitud, no de una asíntota (no existe una función de recuento asintótica para $S$ ya que atraviesa largas brechas sin ningún elemento) pero sigue siendo mucho, mucho más delgado que los primos. En consecuencia, yo esperaría que el orden de crecimiento de $\sum_{n \in S} x^S$ para que sea aproximadamente igual a $O((1-x)^{-0.631})$ .

Le sugiero que lea sobre Teoremas de Tauber como una herramienta para convertir entre las estimaciones de la función de recuento de un conjunto y las estimaciones de la tasa de crecimiento de la función generadora. Creo que este es el concepto que está luchando para describir adecuadamente -- espero que alguien más pueda proporcionar una mejor referencia.