Espacios homogéneos reductores

Question

Si $G$ es un grupo de Lie conectado y $K$ es un subgrupo cerrado de $G$ entonces $G/K$ es un espacio homogéneo. Si $\frak g,k$ son las subálgebras mentirosas de $G,K$ resp. Entonces bajo la proyección $\pi:G\rightarrow G/K$ obtenemos $\mathfrak g/\mathfrak k\cong T_o(G/K)$ .

Un espacio homogéneo se llama reductor si existe un subespacio $\frak m$ de $\frak g$ tal que $\frak g= k\oplus m$ y $Ad(k)\frak m\subset m$ para todos $k\in K$ . Es decir, $\frak m$ es $Ad(K)$ -invariante.

Mi pregunta es: ¿Cómo sería la condición $Ad(k)\frak m\subset m$ implican que $\frak [k,m]\subset m$ ? Y por qué lo contrario es cierto en caso $K$ ¿está conectado?

Mi intento: Deja que $X\in \frak k$ y $Y\in \frak m$ . Supongamos que $[X,Y]\in \frak k$ entonces $exp\ t[X,Y]\subset K$ . Por lo tanto, $exp\ t(ad_XY)=exp\ t(\frac d {ds}\{Ad(exp\ sX)Y\}|_{s=0})$ . Desde $Ad(exp\ sX)Y\in \frak m$ para todos $s\in \mathbb R$ entonces, $\frac d {ds}\{Ad(exp\ sX)Y\}|_{s=0}\in \frak m$ ya que es un subespacio. Por lo tanto, $exp\ t(ad_XY)=exp\ t Y'\subset K$ para algunos $Y'\in \frak m$ . Pero esto es una contradicción ya que existe una correspondencia uno a uno entre los elementos de $\frak k$ y los subgrupos de un parámetro en $K$ .

¿Está bien mi prueba? Se agradecerá cualquier comentario.

Answer 1

El argumento no es realmente correcto. Para demostrar que $[X,Y]\in\mathfrak m$ no es suficiente para demostrar que $[X,Y]\notin\mathfrak k$ . Aquí no es necesario hacer una prueba por contradicción: Basta con tomar $X\in\mathfrak k$ y $Y\in\mathfrak m$ . Entonces sabes que $Ad(exp(tX))(Y)\in\mathfrak m$ por suposición. La compatibilidad de los homomorfismos con exp muestra que $Ad(exp(tX))(Y)=e^{tad(X)}(Y)=Y+t[X,Y]+t^2[X,[X,Y]]+\dots$ y diferenciando en $t=0$ se obtiene $[X,Y]\in\mathfrak m$ .

Por el contrario, saber que $[X,Y]\in\mathfrak m$ se llega fácilmente a la conclusión de que $ad(X)^k(Y)\in\mathfrak m$ y por lo tanto $e^{tad(X)}(Y)=Ad(exp(tX))(Y)\in\mathfrak m$ para todos $t$ . Por lo tanto, $Ad(k)(Y)\in\mathfrak m$ para cualquier $k$ en el subgrupo de $K$ generado por $exp(\mathfrak k)$ . Si $K$ es conectado, entonces este subgrupo coincide con $K$ .

El resultado no es más que un caso especial del resultado sobre la invariancia frente a la invariancia infinitesimal de los subespacios en una representación de un grupo de Lie.