Convergencia uniforme de la siguiente serie:

Question

¿Converge la siguiente serie uniformemente? $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-1^n} {x+n} \ for \ (x\in R^+)$$ Mi opinión:

para la convergencia puntual: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-1^n} {x+n} =0 $$ así que $$|f_n(x) - f(x)|=|\frac{-1^n} {x+n}|$$ ahora para la función $$g(x)=\frac{-1^n} {x+n} \implies g'(x)= \frac {-(-1)^n}{(x+n)^2}\neq0 $$

¿Cómo puedo seguir adelante?

lo que estoy tratando de hacer aquí es encontrar el punto crítico para maximizar la función $g(x)$ pero claramente no hay punto crítico ya que la derivada no puede ser cero.

Answer 1

Usted trata de demostrar erróneamente que la serie converge uniformemente analizando la convergencia de la sucesión de términos. Para una serie $\sum f_n(x)$ para converger uniformemente es necesario pero no suficiente que $f_n(x) \to 0$ de manera uniforme.

En este caso, para todos los $x \in \mathbb{R}^+$ tenemos

$$|f_n(x)| =\left|\frac{(-1)^n}{x + n} \right| \leqslant \frac{1}{n}$$

y la convergencia $f_n(x) \to 0$ es uniforme. Esto sólo significa que aún no podemos descartar la convergencia uniforme de la serie.

De hecho, la serie converge uniformemente por Prueba de Dirichlet ya que las sumas parciales $\sum_{n=0}^m (-1)^n$ están uniformemente acotados y $1/(x+n)$ converge monotónica y uniformemente a $0$ para $x \in \mathbb{R}^+$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \sum_{k=2n}^\infty\frac{(-1)^k}{k+x} &=\sum_{k=n}^\infty\left(\frac1{2k+x}-\frac1{2k+1+x}\right)\\ &=\sum_{k=n}^\infty\frac1{(2k+x)(2k+1+x)}\\ &\le\sum_{k=n}^\infty\frac1{(2k-1)(2k+1)}\\ &=\frac1{4n-2} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \sum_{k=2n+1}^\infty\frac{(-1)^k}{k+x} &=-\sum_{k=n}^\infty\left(\frac1{2k+1+x}-\frac1{2k+2+x}\right)\\ &=-\sum_{k=n}^\infty\frac1{(2k+1+x)(2k+2+x)}\\ &\ge-\sum_{k=n}^\infty\frac1{2k(2k+2)}\\ &=-\frac1{4n} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left|\,\sum_{k=n}^\infty\frac{(-1)^k}{k+x}\,\right|\le\frac1{2n-2} $$ independiente de $x\ge0$ .