Resolución de una ecuación diferencial no lineal: $y’=-y+ty^{1/2}$ con $y(2)=2$ .

Question

¿Qué método analítico puedo utilizar para resolver esta ecuación diferencial?

$y’=-y+ty^{1/2}$

Con $y(2)=2$

Intenté algunos métodos directos pero no funcionó.

Answer 1

Puedes empezar sumando ambos lados de tu ODE mediante $y$ : $$y'+y=ty^{1/2} \tag{1}$$

Una ecuación diferencial ordinaria de la forma $$y'+p(t)y=q(t)y^n \tag{2}$$ donde $n\in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}$ se llama Ecuación diferencial de Bernoulli .

Este es el caso de la ecuación $(1)$ . Es bien sabido que el cambio de variable $v=y^{1-n}$ reduce todas las ecuaciones diferenciales de Bernoulli a una lineal de primer orden. Lo demostraré a continuación, en general . Primero dividamos ambos lados de $(2)$ por $y^n$ : $$y^{-n}y'+p(t)y^{1-n}=q(t) \tag{3}$$ Apliquemos el cambio de variable (Esto se desprende de la regla de la cadena): $$v=y^{1-n} \implies v'=(1-n)y^{-n}y'$$ Sustituyendo lo anterior se obtiene una EDO lineal, como se requiere. $$\frac{1}{1-n}v'+p(t)v=q(t) \tag{4}$$

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Una ecuación diferencial lineal no homogénea puede resolverse fácilmente mediante la método del factor integrador . Asegúrese de no olvidar aplicar la condición $y(2)=2$ después de encontrar la solución general de $(1)$ .

Answer 2

Escribir $$\frac{\frac{dy}{dt}}{2\sqrt{y(t)}}+\frac{\sqrt{y(t)}}{2}=\frac{t}{2}$$ y establecer $$v(t)=\sqrt{y(t)}$$ entonces obtendrá $$\frac{dv(t)}{dt}+\frac{v(t)}{2}=\frac{t}{2}$$ ¿puedes terminar? finalmente conseguirás $$-t+2-{{\rm e}^{-t/2}}{\it \_C1}+\sqrt {y \left( t \right) }=0$$