Dadas dos funciones$f$ y$g$, ¿existe una fórmula para la transformada de Fourier de$f \circ g$ en términos de las transformadas de Fourier de$f$ y$g$ individualmente?
Sé que puedes hacer esto para la suma , el producto y la convolución de dos funciones. Pero no he visto una fórmula para la composición de dos funciones.
No existe tal regla en general. La clave aquí es la sustitución de variables: si$g$ es una biyección y lo suficientemente suave, entonces, si existen todas las integrales: $$ (\ widehat {f \ circ g}) (\ xi) = \ int f (g (x)) \ exp (ix \ xi) dx = \ int f (y) \ exp (ig ^ {- 1} (y ) \ xi) | \ det g '(y) | ^ {- 1} dy. $$ Esto solo rara vez conduce a algo interesante, por ejemplo, en el caso de escalado (es decir, transformación lineal de la variable): Trabajando en$\mathbb{R}^d$ con$A\in\mathbb{R}^{d\times d}$ invertible: $$ (\ widehat {f \ circ A}) (\ xi) = | \ det A ^ {- 1} | \ widehat {f} (A ^ {- T} \ xi). $$
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